Система Orphus

14)Дифференцирование несобственных интегралов по параметру.

Пусть функции f, \frac{\partial f}{\partial y} непрерывны на [a,b)\times[c,d]. Пусть для некоторого y_0 \in [c,d] сходится интеграл I(y_0)=\int_{a}^{b}f(x,y_0)dx, а интеграл \int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx сходится равномерно на [c,d].

Тогда функция I(y) дифференцируема и

\frac{d}{dy}I(y)=\int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx

По теореме 2 при y\in [c,d]

\int_{y_0}^{y}\int_{a}^{b}f'_y(x,t)dxdt=\int_{a}^{b}(f(x,y)-f(x,y_0))dx=\int_{a}^{b}f(x,y)dx-\int_{a}^{b}f(x,y_0)dx.

Первый из интегралов в правой части сходится в силу сходимости второго интеграла и интеграла в средней части равенства. Дифференцируя полученное тождество, имеем

\int_{a}^{b}f'_y(x,y)dx=\frac{d}{dy}\int_{a}^{b}f(x,y)dx

что и требовалось получить.


Система Orphus

Комментарии