Система Orphus

Система Orphus

Представление частичной суммы ряда Фурье интегралом Дирихле

Назовем ядром Дирихле функцию

D_n(x):=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos(kx)=\frac{\sin(n+\frac{1}{2})x}{2\sin(\frac{x}{2})}.\qquad(1)

Подставим в выражение для частичной суммы ряда Фурье выражения для коэффициентов, получаем Интеграл Дирихле

S_n(x;f):=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)[\cos(kt)\cos(kx)+\sin(kt)\sin(kx)]dt=
=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\left [ \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos(k(t-x)) \right ]=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_n(t-x)f(x)dt.\qquad(2)

Произведя в последнем интеграле замену переменной t на t + x и сдвиг отрезка интегрирования, получим

S_n(x;f)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}D_n(t)\left[f(x+t)+f(x-t)\right]dt

Система Orphus

Комментарии