Система Orphus

Система Orphus

Преобразование Фурье производной и производная преобразования Фурье.

Теорема 1

Пусть функция f абсолютно интегрируема на (-\infty,\infty) и f' непрерывна и абсолютно интегрируема на (-\infty,\infty). Тогда

F[f'](y)=(iy)F[f](y),~~~y\in(-\infty,\infty)

Представим функцию f в виде

f(x)=f(0)+\int_{0}^{x}f'(t)dt

из сходимости интеграла \int_{0}^{+\infty}f'(t)dt следует существование пределов \lim_{x\to +\infty}f(x), \lim_{x\to -\infty}f(x). Они не могут быть отличными от нуля в силу сходимости интеграла \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx. C помощью интегрирования по частям получаем

F[f'](y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f'(x)e^{-ixy}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}f(x)e^{-ixy}\Bigr|_{-\infty}^{\infty}+\frac{iy}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ixy}dy=iyF[f](y).


Теорема 2

Пусть функции f непрерывна на (-\infty, \infty), а функция f1 = xf(x) абсолютно интегрируема на (-\infty, \infty). Тогда

\frac{d}{dy}F[f](y)=F[-if_1](y)=F[-ixf(x)](y).

Доказательство

Дифференцируя интеграл F[f](y):=v.p. \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iyx}dx по параметру y, получаем на основании теоремы

\frac{d}{dy}F[f](y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{d}{dy}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iyx}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(-ix)f(x)e^{-iyx}dx

Заметим, что последний интеграл сходится равномерно на (-\infty,\infty) по признаку Вейерштрасса с мажорорантом φ(x) = | xf(x) | .


Система Orphus

Комментарии