Сказать "Спасибо"

Преобразование Фурье производной и производная преобразования Фурье.

Теорема 1

Пусть функция $f$ абсолютно интегрируема на $(-\infty,\infty)$ и $f'$ непрерывна и абсолютно интегрируема на $(-\infty,\infty)$ . Тогда

$F[f'](y)=(iy)F[f](y),~~~y\in(-\infty,\infty)$

Представим функцию $f$ в виде

$f(x)=f(0)+\int_{0}^{x}f'(t)dt$

из сходимости интеграла $\int_{0}^{+\infty}f'(t)dt$ следует существование пределов $\lim_{x\to +\infty}f(x)$ , $\lim_{x\to -\infty}f(x)$ . Они не могут быть отличными от нуля в силу сходимости интеграла $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx$ . C помощью интегрирования по частям получаем

$F[f'](y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f'(x)e^{-ixy}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}f(x)e^{-ixy}\Bigr|_{-\infty}^{\infty}+\frac{iy}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ixy}dy=iyF[f](y)$ .

Теорема 2

Пусть функции $f$ непрерывна на $(-\infty, \infty)$ , а функция $f 1 = x f (x)$ абсолютно интегрируема на $(-\infty, \infty)$ . Тогда

$\frac{d}{dy}F[f](y)=F[-if_1](y)=F[-ixf(x)](y)$ .

Доказательство

Дифференцируя интеграл $F[f](y):=v.p. \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iyx}dx$ по параметру $y$ , получаем на основании теоремы

$\frac{d}{dy}F[f](y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{d}{dy}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iyx}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(-ix)f(x)e^{-iyx}dx$

Заметим, что последний интеграл сходится равномерно на $(-\infty,\infty)$ по признаку Вейерштрасса с мажорорантом $φ(x) = | x f (x) |$ .

Сказать "Спасибо"

Преобразование Фурье производной и производная преобразования Фурье.

Комментарии