Сказать "Спасибо"

Пространства основных и обобщенных функций.

Символом $C_{0}^{\infty}$ обозначается множество бесконечно дифференцируемых финитных функций.

Последовательность $\{\phi(x)\}_{k=1}^{\infty}$ функции $\phi_k\in C_0^{\infty}$ называется сходящейся к функции $\phi(x)\in C_0^{\infty}$ , если

1) $\mathcal{9}[a,b]:supp \phi_k \subset [a,b]~~ \mathcal{8}k\in \mathbb{N}$

2) $\sup_{x\in[a,b]}|\phi_k(x)^{(s)}-\phi(x)^{(s)}|\to 0$ при $k \to \infty, \mathcal{8}s\in\mathbb{N}$ .

Линнейненое пространство $C_{0}^{\infty}$ с введенным понятием сходимости называется пространством $D$ основных функций.

Функционал $f$ на $D$ называется линейным, если

(f,αφ + βψ) = α(f,φ) + β(f,ψ)

Функционал $f$ на $D$ называется непрерывным, если при $k \to \infty$ из

$\phi_k\to \phi$ в $D$ следует $(f,\phi_k)\to(f,\phi)$

Всякий линейный непрерывный функционал на $D$ называется обобщенной функцией.

Пространством обобщенных функций $D'$ называется множество линейное пространство всех обобщенных функций с введенными в нем операциями сложения, умножения на число и сходимостью по следующим правилам:

1) $(α f + β g,φ) = α(f,φ) + β(g,φ)$

2)последовательность $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ , $f_k\in D'$ $\mathcal{8}k\in\mathbb{N}$ называется сходящиеся в $D'$ к $f\in D'$ при $k \to \infty$ , если

$(f_k,\phi)\to(f,\phi)$ в

D'

при $k\to \infty \mathcal{8}\phi\in D$

Сказать "Спасибо"

Пространства основных и обобщенных функций.

Комментарии