Система Orphus

Теорема о сходимости ряда Фурье в точке.

f - 2π периодическая, абсолютно интегрируемая на отрезке [ − π,π] функция.

x0 - почти регулярная точка f.

Тогда ряд Фурье в этой точке x0 сходится к \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}

Рассмотрим предел

\lim_{n\rightarrow\infty}\Delta_n=S_n(x;f)-\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}

\Delta_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}D_n(t)\left[f(x_0+t)+f(x_0-t)\right]dt\,-\,\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}D_n(t)dt=

=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{t}+\frac{f(x_0-t)-f(x_0-0)}{t}\right]\frac{t}{2\sin \frac{t}{2}}\left(\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt

Дробь \frac{t}{2\sin \frac{t}{2}}, доопределенная единицей в нуле, является непрерывной на [ − π,π] функцией.

Дробь \frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{t} абсолютно интегрируема на [ − π,π] функция, поскольку таковой является её числитель, и при t\rightarrow 0+0 она имеет конечный предел.

По теореме Римана об осцилляции, последний интеграл стремится к нулю при n\rightarrow\infty, т.е.

S_n(x_0;f)\rightarrow\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} при n\rightarrow\infty

Система Orphus

Комментарии