Система Orphus

Сходимость ряда Фурье для кусочно гладкой функции.

f-2π периодическая непрерывная и кусочно дифференцируемая функция.

Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно на \mathbb{R}

\sup_{x\in\mathbb{R}}|S_n(x;f)-f(x)|\le C\frac{\ln n}{n} при n > 2

Пусть M_1=\max|f'(x)|,~~~g_x(t):=\frac{f(x+t)+f(x-t)-2f(x)}{2\sin(\frac{t}{2})}.

С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем, что при 0\le t\le\pi

|f(x+t)+f(x-t)-2f(x)|\le 2M_1t

так же, что (за исключением конечного числа t)

|\frac{d}{dt}(g_x(t))|\le \frac{|f'(x+t)-f'(x-t)|}{2\sin{\frac{t}{2}}}+\frac{|f(x+t)+f(x-t)-2f(x)|\cos(\frac{t}{2})}{4\sin^2(\frac{t}{2})}\le\frac{\pi M_1}{t}+\frac{\pi^2M_1}{2t}\le\frac{\pi^2 M_1}{t}.

Пусть 0< \delta_n=\frac{1}{n}< \pi. Распишем разность

S_n(x;f)-f(x)=\frac{1}{\pi}\left(\int_{0}^{\delta_n}+\int_{\delta_n}^{\pi}\right)g_x(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt=I_n+J_n.

1)Очевидно, что |I_n|\le \delta_nM_1.

2)Jn проинтегрируем по частям

J_n=-\frac{1}{\pi}g_x(t)\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{n+\frac{1}{2}}\bigg|_{\delta_n}^{\pi}-\frac{1}{\pi}\int_{\delta_n}^{\pi}\frac{d}{dt}\left(g_x(t)\right)\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{n+\frac{1}{2}}dt.

Отсюда

|J_n|\le\frac{M_1}{n+\frac{1}{2}}+\frac{\pi M_1\ln\frac{1}{\delta}}{n+\frac{1}{2}}=\left(1+\pi\ln\frac{1}{\delta}\right)\frac{M_1}{n+\frac{1}{2}}

Система Orphus

Комментарии