Система Orphus

Система Orphus

Равномерная сходимость сумм Фейера для непрерывных функций.


Последовательность n(x)} сумм Фейера - периодической непрерывной функции f(x) равномерно сходится к функции f(x).


Воспользуемся выражением для частичной суммы ряда Фурье через ядро Дирихле:

S_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)D_n(t)dt\qquad(1)

Подставляя выражение (1) в формулу для сумм Фейера, получаем ,что

\sigma_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)F_n(t)dt\qquad(2)

где

F_n(t)=\frac{D_0(t)+...+D_n(t)}{n+1}.\qquad(3)

функцию Fn(t) назовем ядром Фейера. Свойства ядра Фейера:

1)Fn(t)- четная, - периодическая и непрерывная функция

2)\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_n(t)dt=1

3)F_n(t)\geqslant 0

4)\lim_{n\rightarrow\infty} \max_{\delta \leqslant  t \leqslant  \pi} F_n(t)=0 при любом \delta\in (0,\pi)

Свойства 1) и 2) сразу следует из формулы (3) и соответствующих свойств ядра Дирихле.

Докажем свойство 3). Подставляя в формулу (3) для ядра Фейера выражение для ядер Дирихле, получаем

D_0(x)+...+D_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)x}{2\sin\frac{x}{2}}=\frac{1}{4\sin^2\frac{x}{2}}\sum_{k=0}^{n}2\sin\frac{x}{2}\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)x=\frac{1-\cos(n+1)x}{4\sin^2\frac{x}{2}}\geqslant 0\qquad(4)

Докажем свойство 4). Из равенства (4) следует, что

\sup_{x\in [\delta,\pi]}F_n(x)\leqslant \frac{2}{4\sin^2\frac{\delta}{2}}\frac{1}{n+1}\rightarrow 0 при n\rightarrow\infty, 0 < \delta < \pi

Оценим теперь σn(x) − f(x). Воспользовавшись свойствами 2) и 3) ядра Фейера, получаем, что

\sigma_n(x)-f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f(x+t)-f(x))F_n(t)dt
|\sigma_n(x)-f(x)|=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x+t)-f(x)|F_n(t)dt\qquad(5)

f(x) непрерывна и поэтому по теореме Кантора равномерно непрерывна на отрезке [ − π,π].

f(x) − 2π - периодическая и поэтому f(x) равномерно непрерывна на \mathbb{R}.

Воспользуемся равномерной непрерывностью функции f(x) на \mathbb{R} и для любого \varepsilon > 0 найдем δ > 0 такое, что для любого x \in \mathbb{R} и при любом | t | < δ выполнено равенство


|f(x+t)-f(x)| < \frac{\varepsilon}{2}

Разобьем интеграл в (5) на три

\int_{-\pi}^{\pi}=\int_{-\pi}^{-\delta}+\int_{-\delta}^{\delta}+\int_{\delta}^{\pi}

Воспользовавшись свойствами 2) 3) ядра Фейера, получаем для второго интеграла

\frac{1}{\pi}\int_{-\delta}^{\delta}|f(x+t)-f(x)|F_n(t)dt \leqslant \frac{1}{\pi}\int_{-\delta}^{\delta}\frac{\varepsilon}{2}F_n(t)dt \leqslant \frac{\varepsilon}{\pi}\int_{-\delta}^{\delta}F_n(t)dt \leqslant \frac{\varepsilon}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_n(t)dt = \frac{\varepsilon}{2}

f(x) ограничена: | f(x) | < M.

Воспользуемся свойством 4) ядра Фейера и найдем такое N, что для всех n > N выполнено неравенство

\max_{t\in[\delta,\pi]}F_n(t) < \frac{\varepsilon}{8M}

Тогда справедливо неравенство

\frac{1}{\pi}\int_{\delta}^{\pi}|f(x+t)-f(x)|F_n(t)dt \leqslant \frac{1}{\pi}\int_{\delta}^{\pi}(|f(x+t)|+|f(x)|)F_n(t)dt\leqslant \frac{2M}{\pi}\int_{\delta}^{\pi}F_n(t)dt \leqslant 2M\frac{\varepsilon}{8M}=\frac{\varepsilon}{4}

аналогично для

\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{-\delta}|f(x+t)-f(x)|F_n(t)dt < \frac{\varepsilon}{4}

окончательно из этих неравенств получаем

Для любого \varepsilon > 0 существует δ > 0,N такие, что для любого x \in \mathbb{R} и при любом n > N выполнено неравенство

|\sigma_n(x)-f(x)| < \varepsilon

которое означает, что последовательность сумм Фейера σn(x) равномерно на \mathbb{R} сходится к функции f(x).


Система Orphus

Комментарии