Сказать "Спасибо"

Равномерная сходимость сумм Фейера для непрерывных функций.

Последовательность ${σ n (x)}$ сумм Фейера $2π$ - периодической непрерывной функции $f (x)$ равномерно сходится к функции $f (x)$ .

Воспользуемся выражением для частичной суммы ряда Фурье через ядро Дирихле:

$S_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)D_n(t)dt\qquad(1)$

Подставляя выражение (1) в формулу для сумм Фейера, получаем ,что

$\sigma_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)F_n(t)dt\qquad(2)$

где

$F_n(t)=\frac{D_0(t)+...+D_n(t)}{n+1}.\qquad(3)$

функцию $F n (t)$ назовем ядром Фейера. Свойства ядра Фейера:

1) $F n (t)$ - четная, $2π$ - периодическая и непрерывная функция

2) $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_n(t)dt=1$

3) $F_n(t)\geqslant 0$

4) $\lim_{n\rightarrow\infty} \max_{\delta \leqslant t \leqslant \pi} F_n(t)=0$ при любом $\delta\in (0,\pi)$

Свойства 1) и 2) сразу следует из формулы (3) и соответствующих свойств ядра Дирихле.

Докажем свойство 3). Подставляя в формулу (3) для ядра Фейера выражение для ядер Дирихле, получаем

$D_0(x)+...+D_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)x}{2\sin\frac{x}{2}}=\frac{1}{4\sin^2\frac{x}{2}}\sum_{k=0}^{n}2\sin\frac{x}{2}\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)x=\frac{1-\cos(n+1)x}{4\sin^2\frac{x}{2}}\geqslant 0\qquad(4)$

Докажем свойство 4). Из равенства (4) следует, что

$\sup_{x\in [\delta,\pi]}F_n(x)\leqslant \frac{2}{4\sin^2\frac{\delta}{2}}\frac{1}{n+1}\rightarrow 0$ при $n\rightarrow\infty, 0 < \delta < \pi$

Оценим теперь $σ n (x) - f (x)$ . Воспользовавшись свойствами 2) и 3) ядра Фейера, получаем, что

$\sigma_n(x)-f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f(x+t)-f(x))F_n(t)dt$ $|\sigma_n(x)-f(x)|=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x+t)-f(x)|F_n(t)dt\qquad(5)$

$f (x)$ непрерывна и поэтому по теореме Кантора равномерно непрерывна на отрезке $[ - π,π]$ .

$f (x) - 2π$ - периодическая и поэтому $f (x)$ равномерно непрерывна на $\mathbb{R}$ .

Воспользуемся равномерной непрерывностью функции $f (x)$ на $\mathbb{R}$ и для любого $\varepsilon > 0$ найдем $δ > 0$ такое, что для любого $x \in \mathbb{R}$ и при любом $| t | < δ$ выполнено равенство

$|f(x+t)-f(x)| < \frac{\varepsilon}{2}$

Разобьем интеграл в (5) на три

$\int_{-\pi}^{\pi}=\int_{-\pi}^{-\delta}+\int_{-\delta}^{\delta}+\int_{\delta}^{\pi}$

Воспользовавшись свойствами 2) 3) ядра Фейера, получаем для второго интеграла

$\frac{1}{\pi}\int_{-\delta}^{\delta}|f(x+t)-f(x)|F_n(t)dt \leqslant \frac{1}{\pi}\int_{-\delta}^{\delta}\frac{\varepsilon}{2}F_n(t)dt \leqslant \frac{\varepsilon}{\pi}\int_{-\delta}^{\delta}F_n(t)dt \leqslant \frac{\varepsilon}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_n(t)dt = \frac{\varepsilon}{2}$

$f (x)$ ограничена: $| f (x) | < M$ .

Воспользуемся свойством 4) ядра Фейера и найдем такое $N$ , что для всех $n > N$ выполнено неравенство

$\max_{t\in[\delta,\pi]}F_n(t) < \frac{\varepsilon}{8M}$

Тогда справедливо неравенство

$\frac{1}{\pi}\int_{\delta}^{\pi}|f(x+t)-f(x)|F_n(t)dt \leqslant \frac{1}{\pi}\int_{\delta}^{\pi}(|f(x+t)|+|f(x)|)F_n(t)dt\leqslant \frac{2M}{\pi}\int_{\delta}^{\pi}F_n(t)dt \leqslant 2M\frac{\varepsilon}{8M}=\frac{\varepsilon}{4}$

аналогично для

$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{-\delta}|f(x+t)-f(x)|F_n(t)dt < \frac{\varepsilon}{4}$

окончательно из этих неравенств получаем

Для любого $\varepsilon > 0$ существует $δ > 0, N$ такие, что для любого $x \in \mathbb{R}$ и при любом $n > N$ выполнено неравенство

$|\sigma_n(x)-f(x)| < \varepsilon$

которое означает, что последовательность сумм Фейера $σ n (x)$ равномерно на $\mathbb{R}$ сходится к функции $f (x)$ .

Сказать "Спасибо"

Равномерная сходимость сумм Фейера для непрерывных функций.

Комментарии