Система Orphus

Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывных функций тригонометрическими и алгебраическими многочленами.

Пусть f - 2π - периодическая непрерывная функция. Тогда для каждого \varepsilon > 0 существует такой тригонометрический многочлен T, что


\max_{x \in \mathbb{R}}|f(x)-T(x)| < \varepsilon

Зададим \varepsilon > 0. Пусть \tau=\{ x_j\}_{j=0}^{J}, x_j=-\pi+j\frac{2\pi}{J} - разбиение отрезка [ − π,π]. Построим ломанную (вписанную в график функции f), соединив отрезками последовательно точки (xj,f(xj)) графика f. Обозначим через \Lambda_J:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} 2π - периодическую непрерывную функцию, график которой совпадает на [ − π,π] с построенной ломанной. Очевидно, ΛJ - кусочно линейная на [ − π,π] функция, а значит, и кусочно непрерывно дифференцируемая.

Непрерывная функция f является равномерно непрерывной. Поэтому

|f(x')-f(x'')| < \frac{\varepsilon}{4} при |x'-x''| < \frac{2\pi}{J}

если J=J(\varepsilon)\in \mathbb{N} достаточно велико. Тогда

\max_{x \in \mathbb{R}}|f(x)-\Lambda_J(x)| < \frac{\varepsilon}{2}


Функция ΛJ удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на \mathbb{R}, следовательно, существует такой n=n(\varepsilon), что

\max_{x \in \mathbb{R}}|\Lambda_J(x)-S_n(x;\Lambda_J)| < \frac{\varepsilon}{2}

из последних двух неравенств получаем, что

\max_{x \in \mathbb{R}}|f(x)-S_n(x;\Lambda_J)| < \varepsilon

т.е. утверждении теоремы при

T = Sn(x;ΛJ)

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда для любого \varepsilon > 0 существует такой алгебраический многочлен P, что

\max_{x\in [a,b]}|f(x)-P(x)| < \varepsilon
.

Отобразим линейно отрезок [0,π] на отрезок [a,b]:

x=a+\frac{b-a}{\pi}t, 0\leqslant t \leqslant \pi, a \leqslant x \leqslant b
и положим f^*(t)=f(a+\frac{b-a}{\pi}t), 0 \leqslant t \leqslant \pi. Продолжим ее четным образом на отрезок [ − π,0] и затем на всю ось ось с периодом 2π, сохранив обозначение f * . Полученная функция f^*:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} является 2π - периодической и непрерывной на \mathbb{R}. По первой теореме для каждого \varepsilon > 0 найдется такой тригонометрический многочлен T, что
\max_{0 \leqslant t \leqslant \pi}|f^*(t)-T(t)|\leqslant\max_{t \in\mathbb{R}}|f^*(t)-T(t)|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}
Функции coskt, sinkt (a значит, и T(t)) раскладываются в степенные ряды с радиусом сходимости \mathbb{R}=+\infty, и, следовательно, равномерно сходящиеся на каждом отрезке. Поэтому существует такой номер n=n(\varepsilon), что
\max_{0\leqslant t \leqslant \pi}|T(t)-P_n(t)| < \frac{\varepsilon}{2}
где Pn - многочлен Тейлора функции T.

Из последних двух неравенств получаем, что

\max_{t\in[0,\pi]}|f^*(t)-P(t)| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
или, возвращаясь обратно к переменной x
\max_{x\in[a,b]}\left|f(x)-P_n\left(\pi\frac{x-a}{b-a}\right)\right| < \varepsilon

Система Orphus

Комментарии