Содержание

1 Закон всемирного тяготения
2 Первый закон.
3 Второй закон Кеплера
4 Третий закон Кеплера

Закон всемирного тяготения

В рамках классической механики гравитационное взаимодействие двух материальных точек описывается законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила притяжения между двумя материальными точками массы $m$ и $M$ , разделенными расстоянием $R$ , прямо пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

$F=G\frac{mM}{R^2}$

в системе СИ, гравитационная постоянная равна примерно

$G=6,67 \cdot 10^{-11}$ м^3/(кг·с^2).

Законы Кеплера.

Первый закон.

Каждая планета, вращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Доказательство:

Из закона всемирного тяготения:

$\vec{a}=f(r)\vec{r}$

Перейдем к полярным координатам $r$ и $\theta$ .

$\frac{d\vec{p}}{dt}=\dot{r}\vec{r}+r\dot{\theta}\vec{\theta}$

$\frac{d^2\vec{p}}{dt^2}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\vec{r}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\vec{\theta}$

Подставляя $\ddot{\theta}$ и $\dot{r}$ получаем уравнение

$r\frac{d\dot{\theta}}{dt}+2\frac{dr}{dt}\theta=0$

Решая его получаем, что

$\ln \dot{\theta} + \ln r= \ln l$

или

$r\dot{\theta}=l$

Пусть $u=\frac{1}{r}$ , тогда из уравнения движения можно получить формулу

$\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=-\frac{1}{u^2l^2}f\left(\frac{1}{u}\right)=-\frac{GM}{l^2}$

Решение этого уравнения:

$u=\frac{GM}{l}[1+e\cos (\theta-\theta_0)]$

В итоге получаем:

$r=\frac{l^2/GM}{1+e\cos\theta}$

Второй закон Кеплера

Каждая планета солнечной системы движется в плоскости, проходящей через центр солнца, причем за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющей Солнце и планету, описывает равные площади.