Инварианты поля.

Построим из тензора $F_{\mu\nu}$ . Лоренцовские инварианты ЭМ поля. Простейший очевидный инвариант $F_\mu^\mu$ тривиален, т.к. равен нулю. Следующий инвариант имеет такой вид:

$I_1=F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\equiv F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}\eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}$

Очевидно, что эта величина не зависит от СО - инвариантна.

Распишем этот инвариант через $\vec{E}, \vec{B}$ :

$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=F_{0i}F^{0i}+F_{i0}F^{i0}+F_{ij}F^{ij}=2\vec{E}(-\vec{E})+(-\epsilon_{ijk}B_k)(-\epsilon_{ijl}B_l)=-2(\vec{E}^2-\vec{B}^2).$

Таким образом

$I_1=F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=-2(\vec{E}^2-\vec{B}^2)$

-первы инвариант ЭМ поля.

С использованием 4-мерного абсолютно антисимметричного тензора $\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}$ можно построить второй инвариант ЭМ-поля:

$I_2=\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} F^{\mu\nu}F^{\alpha\beta}\equiv F^{\mu\nu}\tilde{F_{\mu\nu}}$

Распишем второй инвариант через $\vec{E}, \vec{B}$ :

$I_2=-8(\vec{E},~\vec{B}).$

Сказать "Спасибо"

Инварианты поля.

Комментарии