Плотность и поток энергии электромагнитного поля.

$rot \vec{H}-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=\frac{4\pi}{c}\vec{j}$ $rot \vec{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}=0$

Умножим обе части первого уравнения на $\vec{E}$

Умножим обе части второго уравнения на $\vec{H}$

и сложим полученные уравнения почленно:

$\frac{1}{c}\vec{E}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}+\frac{1}{c}\vec{H}\frac{\partial \vec{H}}{\partial t}=-\frac{4\pi}{c}\vec{j}\vec{E}-(\vec{H}rot\vec{E}-\vec{E}rot\vec{H})$

Пользуясь известной формулой векторного анализа

$div[ab]=b~rot~a-a~rot~b$ $\frac{1}{2c}\frac{\partial}{\partial t}(E^2+H^2)=-\frac{4\pi}{c}\vec{j}\vec{E}-div[\vec{E}\vec{H}]$

или

$\frac{\partial}{\partial t} \frac{E^2+H^2}{8\pi}=-\vec{j}\vec{E}-div\vec{S} ~~~~(31.1)$

вектор

$\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\vec{H}]$ - вектор Пойтинга.

Проинтегрируем (31.1)

$\frac{\partial}{\partial t}\int\frac{E^2+H^2}{8\pi}dV=-\int \vec{j}\vec{E}dV-\oint \vec{S}d\vec{f}$ $W=\frac{E^2+H^2}{8\pi}$ - плотность энергии. $\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\vec{H}]$ - вектор Пойтинга.

Сказать "Спасибо"

Плотность и поток энергии электромагнитного поля.

Комментарии