Пусть $f$ интегрируема на $[a, b]$ . Тогда на $[a, b]$ определена функция

$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt,~~a\leqslant x\leqslant b,~~~~~~(1)$

называемая интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Пусть $f$ интегрируема на $[a,b]$ . Тогда функция $F$ непрерывна на $[a, b]$ .

Доказательство. Пусть $x_0,x_0+\Delta x\in[a,b]$ . Тогда

$F(x_0+\Delta x)-F(x_0)=\int\limits_{a}^{x_0+\Delta x}f(t)dt-\int\limits_{a}^{x_0}f(t)dt=\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt$

Функция $f$ ограничена на $[a, b]$ (поскольку она интегрируема), так что при некотором $M$

$|f(t)|\leqslant M~\forall t\in[a,b]$ .

Следовательно

$|F(x_0+\Delta x)-F(x_0)|\leqslant M|\Delta x|\to 0$ при $\Delta x \to 0$ ,

что и требовалось показать.

Теорема 2. Пусть функция $f$ интегрируема на $[a, b]$ и непрерывна в точке $x_0\in[a,b]$ . Тогда функция $F(x)$ имеет производную в точке $x_0$ и

$F'(x_0)~=~f(x_0),~~~~(2)$

Доказательство. Вычитая из $\frac{\Delta F(x_0)}{\Delta x}$ предпологаемый предел $f(x_0)$ , имеем при $x_0+\Delta x \in [a,b]$

$\frac{\Delta F(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=\frac{1}{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt$ .

Пусть $\varepsilon > 0$ . Тогда в силу непрерывности $f$ в точке $x_0~\exists \delta~:~|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon$ , если $t\in [a,b], |t-x_0|<\delta$ .

Следовательно, при $|\Delta x| < \delta$ (и $x_0+\Delta x \in [a,b]$ )

$\left|\frac{\Delta F(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)\right|\leqslant\frac{1}{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}|f(t)-f(x_0)|dt\leqslant \varepsilon\frac{1}{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}1dt=\varepsilon$

Но это означает, что

$\frac{\Delta F(x_0)}{\Delta x}\to f(x_0)$ при $x_0+\Delta x \in [a,b], \Delta x \to 0$

что и требовалось показать.

Теорема 3.Пусть функция $f$ непрерывна на $(a,b)$ . Тогда она имеет на $(a, b)$ первообразную

$F(x)=\int_{x_0}^{x}f(t)$ dt, где $x_0\in(a,b)$ .

Доказательство.

следует из формулы (2) при $x\in(a,b), x \geqslant x_0$ , и формулы ∃G′(x) = −F′(x) = −f(x) при $x\in(a,b), x \leqslant x_0$ , если учесть, что в последнем случае $F$ можно представить в виде $F(x)=-\int_{x}^{x_0}f(t)dt$ .