Система Orphus

Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.

Пусть функция непрерывна на отрезке [a,b], f(a)=A, f(b)=B. Пусть C находится между A и B.Тогда

\exists\xi\in[a,b]~:~f(\xi)=C

Доказательство.

Пусть, для определенности, A=f(a)\leqslant C\leqslant f(b)=B. Поделим отрезок [a,b] пополам и через [a_1,b_1] обозначим такую его половину, для которой f(a_1)\leqslant C\leqslant f(b_1). Поделим отрезок пополам и через [a_2,b_2] обозначим такую его половину, для которой f(a_2)\leqslant C\leqslant f(b_2). Продолжая процесс, получим стягивающуюся систему вложенных отрезков \{[a_n,b_n]\}, для которых

f(a_n)\leqslant C\leqslant f(b_n).

Пусть \xi\in[a_n,b_n]~\forall n\in\mathbb{N}. Тогда при n\to\infty a_n\to\xi, b_n\to\xi и (в силу непрерывности функции f в точке \xi)

f(a_n)\to f(\xi),~~~f(b_n)\to f(\xi)~~~ при n\to\infty.

Переходя к пределу в последнем неравенстве, получаем

f(\xi)\leqslant C\leqslant f(\xi) \Rightarrow f(\xi)=C,

что и требовалось доказать.

О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1. стр.56


Система Orphus

Комментарии