Достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке.

$f$ - $2\pi$ периодическая, абсолютно интегрируемая на отрезке $[-\pi,\pi]$ функция.

Тогда ряд Фурье в этой точке $x_0$ сходится к $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$ .

Если же при этом $x_0$ - регулярная точка $f$ , то ряд Фурье в точке $x_0$ сходится к $f(x_0)$ .

Рассмотрим предел

$\lim_{n\rightarrow\infty}\Delta_n=S_n(x;f)-\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$ $\Delta_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}D_n(t)\left[f(x_0+t)+f(x_0-t)\right]dt-$ $-\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}D_n(t)dt=$ $=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{t}+\right.$ $+\left.\frac{f(x_0-t)-f(x_0-0)}{t}\right]\frac{t}{2\sin \frac{t}{2}}\left(\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt$

Дробь $\frac{t}{2\sin \frac{t}{2}}$ , доопределенная единицей в нуле, является непрерывной на $[-\pi,\pi]$ функцией.

Дробь $\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{t}$ абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция, поскольку таковой является её числитель, и при $t\rightarrow 0+0$ она имеет конечный предел.

По теореме Римана об осцилляции, последний интеграл стремится к нулю при $n\rightarrow\infty$ , т.е.

$S_n(x_0;f)\rightarrow\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$ при $n\rightarrow\infty$

Следствие.Пусть $2\pi$ - периодическая функция $f$ абсолютно интегрируема на отрезке $[-\pi,\pi]$ , и существует $f'(x_0)$ . Тогда ряд Фурье функции $f$ сходится в точке $x_0$ к $f(x_0)$ .

О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 2.стр.119.

Сказать "Спасибо"

Достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке.

Комментарии