Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на $\mathbb{R}$ функции есть ограниченная и непрерывная на $\mathbb{R}$ функция.

Доказательство. Так как функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$ , то

$|\hat{f}(y)|=\left|\int\limits_{\infty}^{\infty}f(x)e^{-iyx}dx\right|\leqslant\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx=C_0$

и, следовательно, $\hat{f}(y)$ есть ограниченная функция на $\mathbb{R}$ .

Для доказательства непрерывности функции $\hat{f}(y)$ запишем её в виде

$\hat{f}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos yxdx-i\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\sin yxdx=a(y)-ib(y)$

и заметим, что, в силу леммы 4, $74 функция $a(y)$ и $b(y)$ непрерывны на $\mathbb{R}$ .

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. стр.645.

Лемма 4

Если $f(x)$ - абсолютно интегрируемая на $\mathbb{R}$ функция, то непрерывны функции $a(y)$ и $b(y)$ , определенные равенствами

$a(y)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos yt dt,~~~b(y)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin yt dt$

Доказательство. Докажем, например, непрерывность $a(y)$ . Из уравнения для $a(y)$ следует, что

$|\Delta a(y)|=|a(y+\Delta y)-a(y)|\leqslant \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\left|\sin\left(\frac{t\Delta y}{2}\right)\right|dt.~~~~(15)$

Так как функция $f(t)$ абсолютно интегрируема, то интервал $(-\infty,\infty)$ можно разбить на три таких интервала $(-\infty, -c),~(-c,c)$ и $(c,+\infty)$ , что по бесконечным интервалам интегралы от функции $|f(x)|$ не будут превышать $\frac{\varepsilon}{3}$ . второй интеграл меньше чем

$\frac{c}{2\pi}|\Delta y|\int\limits_{-c}^{c}|f(t)|dt$ ,

и, следовательно, существует $\delta > 0$ такое, что при $|\Delta y|<\delta$ второй интеграл меньше $\frac{\varepsilon}{3}$ . Следует, что при $|\Delta y|<\delta$ приращение $|\Delta a(y)|<\varepsilon$ .

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа.стр.644.

Сказать "Спасибо"

Непрерывность преобразования Фурье абсолютно интегрируемой функции.

Лемма 4

Комментарии