Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дана плоскость с уравнением $(\vec{r}-\vec{r_0},\vec{n}) = 0$ и точка $M$ с радиус-вектором $R$ . Рассмотрим вектор $\vec{M_0 M}=\vec{R}-\vec{r_0}$ , соединяющий начальную точку плоскости с $M$ . Расстояние от точки до плоскости равно модулю его скалярной проекции на вектор $\vec{n}$ , т.е.

$h=\frac{|(\vec{R}-\vec{r_0},\vec{n})|}{|\vec{n}|}$ .

Если в декартовой прямоугольной системе координат точка $M$ имеет координаты $(X,Y,Z)$ , то равенство перепишется в виде

$h=\frac{|AX+BY+CZ+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Расстояние от точки до прямой.

Если прямая задана уравнением $[\vec{r}-\vec{r}_0,\vec{a}]=0$ , то мы можем найти расстояние $h$ от точки $M$ с радиус вектором $\vec{R}$ , до этой прямой, разделив площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{R}-\vec{r}_0$ и $\vec{a}$ , на длину его основания. Результат можно записать в виде

$h=\frac{|[\vec{R}-\vec{r}_0,\vec{a}]|}{|\vec{a}|}$

Рассмотрим прямую на плоскости, тогда получаем

$h=\frac{|AX+BY+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Пусть прямые $p$ и $q$ не параллельны. Известно, что в этом случае существуют такие параллельные плоскости $P$ и $Q$ , что прямая $p$ лежит в $P$ , а прямая $q$ в $Q$ . Расстояние $h$ между $P$ и $Q$ называется расстоянием между прямыми $p$ и $q$ . Если $p$ и $q$ пересекаются, то $P$ и $Q$ совпадают и $h=0$ .

Для того чтобы найти расстояние $h$ , проще всего разделить объем параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{r}_2-\vec{r}_1$ , $\vec{a}_1$ и $\vec{a}_2$ , на площадь его основания. Мы получим

$h=\frac{|(\vec{r}_2-\vec{r}_1,\vec{a}_1,\vec{a}_2)|}{|[\vec{a}_1,\vec{a_2}]|}$

Сказать "Спасибо"

Формула расстояния от точки до прямой и плоскости, между прямыми в пространстве.

Комментарии