Сказать "Спасибо"

Помочь проекту

Теорема о среднем Ролля, Лагранжа и Коши для дифференцируемых функций.

Теорема Ролля

Пусть функция $f$ :

1. непрерывна на $[a,b]$ ;

2. дифференцируема на $(a,b)$ ;

3. $f(a)=f(b)$ .

Тогда $\exists \xi\in(a,b)~:~f'(\xi)=0$ .

Доказательство. Случай $f\equiv \mathrm{const}$ тривиален. Будем считать далее, что $f \not\equiv \mathrm{const}$ . По теореме Вейерштрасса в некоторых точках отрезка $[a,b]$ функция $f$ принимает максимальное и минимальное значения. По крайней мере, одна из этих точек лежит на интервале $(a,b)$ , так как $\min_{[a,b]}f<\max_{[a,b]}f$ . Тогда по теореме Ферма производная $f'$ в этой точке равна нулю, что и требовалось доказать.

Теорема Лагранжа

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$ , то в этом интервале найдется хотя бы одна точка $\xi$ , такая что

$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).~~~~~(1)$

Доказательство.

Рассмотрим функцию

$\varphi(x)=f(x)+\lambda x$

где число $\lambda$ выберем таким, чтобы выполнялось условие $\varphi(a)=\varphi(b)$ , т.е. $f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b$ . Отсюда находим

$\lambda=-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}~~~~~(2)$

Так как функция $\varphi(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , дифференцируема на интервале $(a,b)$ и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля существует точка $\xi \in (a,b)$ такая, что $\varphi'(\xi)=f'(\xi)+\lambda=0$ . Отсюда в силу условия (2) получаем равенство

$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},$

равносильное равенству (1).

Теорема Коши

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на отрезке $[a, b]$ , дифференцируемы на интервале $(a,b)$ , причем $g'(x)\ne 0$ во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка $\xi\in (a,b)$ такая, что

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ .

Доказательство.

Рассмотрим функцию

$\varphi(x)=f(x)+\lambda g(x),$

где число $\lambda$ выберем таким, чтобы выполнялось равенство $\varphi(a)=\varphi(b)$ , которое равносильно следующему:

$f(b)-f(a)+\lambda(g(b)-g(a))=0.~~~~(1)$

Заметим, что $g(b)\ne g(a)$ , так как в противном случае согласно теореме Ролля существовала бы точка $c\in (a,b)$ такая что $g'(c)=0$ вопреки условиям теоремы.

Итак, $g(b)-g(a)\ne 0$ и из равенства (1) следует, что

$\lambda=-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.~~~~~(2)$

Так как функция $\varphi$ при любом $\lambda$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$ , а при $\lambda$ определяемой формулой (2), принимает равные значения в точках $a$ и $b$ , то по теореме Ролля существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что $\varphi'(\xi)=0$ , откуда $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=-\lambda$ . Из этого равенства следует утверждение теоремы.

О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр. 86.

Сказать "Спасибо"

Теорема о среднем Ролля, Лагранжа и Коши для дифференцируемых функций.

Теорема Ролля

Теорема Лагранжа

Теорема Коши

Комментарии