Обозначим через $\mathbb{C}^1[a,b]$ множество всех непрерывно дифференцируемых функций, заданных на $[a, b]$ . Для $\forall y_1(x), y_2(x) \in \mathbb{C}^1[a,b]$ введем расстояние между ними по формуле

$\|y_1-y_2 \|_{\mathbb{C}^1[a,b]}=\max_{x\in[a,b]}|y_1(x)-y_2(x)|+\max_{x\in[a,b]}|y'_1(x)-y'_2(x)|$

Множество функций ${C}^1[a,b]$ с введенной метрикой является линейным нормированным пространством.

Пусть $F(x,y, p)$ - заданная непрерывно дифференцируемая функция для $\forall x \in [a, b]$ и $\forall(y, p)\in \mathbb{R}^2$ . Рассмотрим интеграл

$J(y)=\int_{a}^{b}F(x, y(x), y'(x))dx~~~~~~(1)$

на множестве $M$ тех функций $y(x)\in \mathbb{C}^1[a,b]$ , которые удовлетворяют граничным условиям

$y(a)=A,~~~~y(b)=B$ ,

где $A$ и $B$ заданные числа. Функции $y(x)\in M$ будем называть допустимыми.

Определение. Говорят, что функция $\hat{y}(x)\in M$ дает слабый локальный минимум функционала (1), если $\exists \varepsilon > 0: \forall y(x) \in M, \|\hat{y}-y\| < \varepsilon \rightarrow J(y)\geq J(\hat{y})$ .

Определение. Задача нахождения слабого локального экстремума функционала (1) называется простейшей вариационной задачей.

Теорема. Пусть функция $F(x, y, p)$ - дважды непрерывно дифференцируема при $\forall x \in [a, b]$ и $\forall(y, p)\in \mathbb{R}^2$ . Если дважды непрерывно дифференцируемая функция $\hat{y}(x)$ является решением простейшей вариационной задачи, то необходимо, чтобы функция $\hat{y}(x)$ на $[a, b]$ удовлетворяла уравнению Эйлера

$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}=0$

Доказательство. Условие экстремальности

$0=\int_{a}^{b}\left\{\frac{\partial F[x, \hat{y}, \hat{y}']}{\partial y}\eta(x)+\frac{\partial F[x, \hat{y}, \hat{y}']}{\partial y'}\eta'(x)\right\}dx$

если второй интеграл взять по частям то приходим к следующему эквивалентному уравнению

$0=\frac{\partial F[x, \hat{y}, \hat{y}']}{\partial y'}\eta(x)\Bigr|_{a}^{b}+\int_{a}^{b}\left\{\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}\right\}\eta(x)dx$

ну и получаем утверждение теоремы.

Сказать "Спасибо"

Простейшая задача вариационного исчисления. Необходимые условия локального экстремума.

Комментарии