Интегральная теорема Коши.

Теорема. Пусть функция $f(z)$ дифференцируема в односвязной области $D$ и её производная непрерывна в $D$ . Тогда интеграл от $f(z)$ по любой замкнутой кривой $\gamma$ , лежащей в области $D$ , равен нулю:

$\int\limits_{\gamma}f(z)dz=0$ .

Доказательство. Если $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ , то по формуле

$\int\limits_{\gamma}f(z)dz=\int\limits_{\gamma}udx-vdy+i\int\limits_{\gamma}vdx+udy$

имеем

$\int\limits_{\gamma}f(z)dz=J_1+iJ_2$ ,

где

$J_1=\int\limits_{\gamma}udx-vdy,~~J_2=\int\limits_{\gamma}vdx+udy$ .

Так как функция $f(z)$ имеет непрерывную производную в области $D$ , то частные производные первого порядка функции $u,v$ непрерывны в области $D$ и выполняется условия Коши-Римана

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},~~\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$

В силу применимости формулы Грина следует, что $J_1=J_2=0$ . Таким образом

$\int\limits_{\gamma}f(z)dz=J_1+iJ_2=0$

Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функции комплексного переменного стр.75

Сказать "Спасибо"

Интегральная теорема Коши.

Комментарии