Сказать "Спасибо"

Исследование функций одной переменной при помощи первой и второй производных на монотонность, локальные экстремумы, выпуклость. Необходимые условия, достаточные условия.

Теорема1

Пусть $f$ дифференцируема на $(a, b)$ . Тогда

1. условие $f' \geqslant 0 (f' \leqslant 0)$ на $(a, b )$ необходимо и достаточно для того, чтобы функция $f$ возрастала (убывала) на $(a, b)$ ;

2. условие $f' > 0 (f' < 0)$ на $(a, b)$ достаточно, чтобы функция $f$ строго возрастала (строго убывала) на $(a,b)$ .

Доказательство:

Достаточность следует из формулы конечных приращений Лагранжа

$f(x_2)-f(x_1)~=~f'(\xi)(x_2-x_1), a < x_1 < \xi < x_2 < b.$

Необходимость. Пусть $f$ возрастает на $(a,b), x_0, x \in (a,b).$ Тогда $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \ge 0$ . Следовательно, $f'(x_0)\ge 0.$
Замечание: условие $f' > 0$ не является необходимым. Пример: $f(x)=x^3, x \in (-1,1)$

Теорема 2. Ферма.

Пусть $x_0$ - точка экстремума функции $f$ . Тогда производная $f'(x_0)$ либо не существует, либо $f'(x_0)=0$ .

Доказательство:

Пусть для определенности $f(x_0)~=~\min f$ . Тогда $\frac{\Delta f}{\Delta x}\ge 0$ при $\Delta x > 0$ и $\frac{\Delta f}{\Delta x}\le 0$ при $\Delta x < 0$ . Переходя в этих неравенствах к пределу при $\Delta x \to 0$ , получаем соответственно $f'(x_0)\geqslant 0$ , $f'(x_0)\leqslant 0$ . Отсюда следует, что $f'(x_0)=0$ .

О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр.86.

Теорема 3.(достаточное условие строгого экстремума)

Пусть $f$ непрерывна в точке $x_0$ и дифференцируема на $\overset{o}{U}(x_0)$ . Пусть $~f'$ меняет знак при переходе через точку $x_0$ . Тогда $x_0$ - точка строгого экстремума.

Доказательство:

Пусть для определенности $f'>0$ на $U(x_0+0).$ Тогда из формулы конечных приращений Лагранжа $f(x)-f(x_0)= f'(\xi)(x-x_0)$ видно, что приращение функции $f$ не меняет знак с "-" на "+" при переходе через точку $x_0.$ Следовательно, $x_0$ - точка строгого минимума.

Замечание: условия теоремы не являются необходимыми. Пример: $f(x)=2x^2 + x^2 \sin(x^{-1}), x\ne 0; f(x)=0, x=0$

Теорема 4.

Пусть $f'(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0, f^{(n)}(x_0)\ne 0$ . Тогда

1. при четном $n=2k$ , $x_0$ - точка строгого экстремума (строго максимума) при $f^{(2k)}(x_0)~<~0$ (при $f^{(2k)}(x_0)~>~0$ );

2. при нечетном $n=2k+1$ , $x_0$ - точка возрастания (точка убывания) при $f^{(2k+1)}(x_0)~>~0$ (при $f^{(2k+1)}(x_0)~<~0$ ).

Теорема 1 (условие выпуклости функций).

Пусть функция $f$ имеет вторую производную $f''$ на $(a,b)$ . Тогда

1 условие $f'' \leqslant 0$ на $(a,b)$ необходимо и достаточно для выпуклости вверх функции $f$ на $(a,b)$ ;

2 если $f'' < 0$ на $(a,b)$ , то функция $f$ строго выпукла вверх на $(a,b)$ .

Доказательство:
Достаточность: При $a< \alpha <x < \beta < b$ имеем, условие выпуклости вверх

$f(x)-l(\alpha,\beta)(x)=\frac{\beta-x}{\beta-\alpha}(f(x)-f(\alpha))+\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha}(f(x)-f(\beta))\ge0$

а используя формулу конечных приращений Лагранжа

$f(x)-l(\alpha,\beta)(x)=\frac{(\beta-x)f'(\xi)(x-a)+(x-\alpha)f'(\eta)(x-\beta)}{\beta-\alpha}=\frac{(x-\alpha)(\beta-x)f''(\zeta)(\xi-\eta)}{\beta-\alpha}\ge0 (>0$ при $f''(\xi)<0), a< \alpha < \xi < \zeta < \eta <\beta <b.$

Теорема 2 (необходимые условия точки перегиба).

Пусть $x_0$ - точка перегиба функции и $f''$ непрерывна в точке $x_0$ . Тогда $f''(x_0)=0$ .
Доказательство:
от противного
Допустим, что $f''(x_0) \ne 0$ и для определенности $f''(x_0)>0$ . Тогда $f''(x)>0$ в некоторой окрестности $U(x_0)$ . Значит точка $x_0$ находится внутри интервала $U(x)$ строгой выпуклости вниз и не может быть точкой перегиба.

Теорема 3 (достаточные условия точки перегиба).

Пусть $\exists f'(x_0)$ , а $f''$ меняет знак при переходе через точку $x_0$ .

Тогда $x_0$ - точка перегиба.
Доказательства:
сводится к проверке определения точки перегиба с помощью теоремы о достаточных условиях строгой выпуклости функции.

Теорема 4 (о расположении кривой относительно касательной).

1 Если $f''(x_0) > 0 (f''(x_0) < 0)$ , то $\exists U (x_0)$ : кривая $y=f(x)$ лежит строго выше (строго ниже) касательной $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ при $x \in \overset{o}{U}(x_0)$ .

2 Если $f''(x_0)=0, f'''(x_0)\ne 0$ , то $\exists U(x_0)$ : кривая $y=f(x)$ переходит через касательную, т.е. при $x < x_0$ и $x > x_0 (x \in \overset{o}{U}(x_0))$ лежит строго по разные стороны от касательной.

Сказать "Спасибо"

Теорема1

Теорема 2. Ферма.

Теорема 3.(достаточное условие строгого экстремума)

Теорема 4.

Теорема 1 (условие выпуклости функций).

Теорема 2 (необходимые условия точки перегиба).

Теорема 3 (достаточные условия точки перегиба).

Теорема 4 (о расположении кривой относительно касательной).

Комментарии