Вывод уравнения теплопроводности. Рассмотрим в пространстве $\mathbb{R}^n$ область $G$ , занимаемую веществом с плотностью $\rho>0$ , коэффициентом теплопроводности $k>0$ и теплоемкостью с>0 . Пусть $F(x,t)$ - зависимость мощности источников тепла, расположенных в $G$ , от времени $t$ . Тогда для любой области $D \subset G$ c границей $\partial D$ , являющейся гладкой поверхностью, мы можем записать закон сохранения теплоты $Q$ в этой области за промежуток времени $[t;t+\delta]$ :

$Q(t+\delta)-Q(t)=\int\limits_{D}C\rho(u(x,t+\delta)-u(x,t))dx=$ $=\int\limits_{t}^{t+\delta}dt\int\limits_{\partial D}k\frac{\partial}{\partial n}u(x,t)ds_x+\int\limits_{t}^{t+\delta}dt\int\limits_{D}F(x,t)dx$

где $u(x,t)$ - температура в точке $x$ в момент времени $t$ , $n$ - внешняя единичная нормаль, $ds_x$ - элемент поверхности, описываемый радиус-вектором $x=(x^1,...,x^n),~dx=dx^1...dx^n$ - элемент объема, $\frac{\partial}{\partial n}=(n,\mathrm{grad})$ - нормальная производная.

Если предположить достаточную гладкость функции $u(x,t)$ то, воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, получаем:

$\int\limits_{t}^{t+\delta}dt\int\limits_{D}\left[k\cdot\mathrm{div}(\mathrm{grad}u(x,t))+F(x,t)\right]dx=\int\limits_{D}C\rho(u(x,t+\delta)-u(x,t))dx$

Деля это выражение на $\delta$ и переходя к пределу $\delta \to 0$ под знаком интеграла (также в предположениях достаточной гладкости подынтегральных функций), найдем: