Система Orphus

Система Orphus

Основные принципы вывода задач математической физики. Вывод уравнения теплопроводности и постановка основных начально-краевых задач для уравнения теплопроводности.

Вывод уравнения теплопроводности. Рассмотрим в пространстве \mathbb{R}^n область G, занимаемую веществом с плотностью \rho>0, коэффициентом теплопроводности k>0 и теплоемкостью с>0 . Пусть F(x,t) - зависимость мощности источников тепла, расположенных в G, от времени t. Тогда для любой области D \subset G c границей \partial D, являющейся гладкой поверхностью, мы можем записать закон сохранения теплоты Q в этой области за промежуток времени [t;t+\delta]:

Q(t+\delta)-Q(t)=\int\limits_{D}C\rho(u(x,t+\delta)-u(x,t))dx=
=\int\limits_{t}^{t+\delta}dt\int\limits_{\partial D}k\frac{\partial}{\partial n}u(x,t)ds_x+\int\limits_{t}^{t+\delta}dt\int\limits_{D}F(x,t)dx

где u(x,t) - температура в точке x в момент времени t, n - внешняя единичная нормаль, ds_x - элемент поверхности, описываемый радиус-вектором x=(x^1,...,x^n),~dx=dx^1...dx^n - элемент объема, \frac{\partial}{\partial n}=(n,\mathrm{grad}) - нормальная производная.

Если предположить достаточную гладкость функции u(x,t) то, воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, получаем:

\int\limits_{t}^{t+\delta}dt\int\limits_{D}\left[k\cdot\mathrm{div}(\mathrm{grad}u(x,t))+F(x,t)\right]dx=\int\limits_{D}C\rho(u(x,t+\delta)-u(x,t))dx

Деля это выражение на \delta и переходя к пределу \delta \to 0 под знаком интеграла (также в предположениях достаточной гладкости подынтегральных функций), найдем:

\int\limits_{D}C\rho u_t(x,t)dx=\int\limits_{D} \left[k\cdot\mathrm{div}(\mathrm{grad}u(x,t))+F(x,t)\right]dx.

Поскольку это равенство справедливо для произвольной области D\subset G, то должно выполняться

u_t(x,t)=a^2\mathrm{div}(\mathrm{grad}u(x,t))+f(x,t),~~x\in G,

где a^2=\frac{1}{c\rho},~f(x,t)=a^2 F(x,t).

Учтем, что \mathrm{div}(\mathrm{grad})=\Delta_x, тогда получаем уравнение теплопроводности:

u_t(x,t)=a^2\Delta_x u(x,t)+f(x,t),~~x\in G.

Это уравннение относится к параболическому типу.

Постановка основных начально-краевых задач для уравнения теплопроводности.

Простейшими примерами граничных условий могут служить следующие:

a) задана температура на границе:

u(x,t)|_{x\in\partial G}=u_0(x,t)

- кравевое условие типа Дирихле (первого рода);

б) задан поток на границе:

\frac{\partial}{\partial n}u(x,t)|_{x\in\partial G}=u_1(x,t)

- краевое условие типа Неймана (второго рода);

в) задан процесс теплообмена на границе

\left[k\frac{\partial}{\partial n}u(x,t)-u(x,t)\right]|_{x\in\partial G}=u_2(x,t)

- краевое условие третьего рода.


Система Orphus

Комментарии