Система Orphus

Система Orphus

Пример Адамара некорректно поставленной задачи.

Пример Адамара иллюстрирует возможность некорректной постановки классической задачи Коши.

Рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения Лапласа:

u_{tt} (x,t)=-u_{xx} (x,t),~t>0;
u\mid_{t=0}=0,~~u_t\mid_{t=0}=\frac{1}{k}\sin{kx}.

Тогда несложно показать, что решением такого уравнения будет функция:

u_k(x,t)=\frac{\operatorname{sh}\,kt}{k^3}\sin{kx}.

При k\rightarrow+\infty видно, что \frac{1}{k}\sin{kx}\rightrightarrows 0 по x; следовательно, решение должно также приближаться к нулю. Однако же, в общем случае, когда x\neq\pi n,n=0,\pm1,\dots,u_k(x,t)\not\to 0,~k\rightarrow\infty. То есть, непрерывной зависимости от начальных данных нет и, следовательно, задача поставлена некорректно.


Система Orphus

Комментарии