Система Orphus

Система Orphus

Вывод формулы Пуассона с помощью преобразования Фурье.

Преобразованием Фурье непрерывной и абсолютно интегрируемой в \mathbb{R}_n, функции f(x) называется функция

\tilde{f}(\varepsilon)=\int\limits_{\mathbb{R}_n}e^{-i(x,\varepsilon)}f(x)dx,~~~\varepsilon=(\varepsilon_1,...,\varepsilon_2)\in\mathbb{R}_n,

где (x,\varepsilon)=x_1\varepsilon_1+...+x_n\varepsilon_n.

Если функция f имеет непрерывную производную f_{x_j}(x), также абсолютно интегрируемую в \mathbb{R}_n, то преобразование Фурье функции f_{x_j}(x) связано с преобразованием Фурье функции f(x) следующим образом:

\tilde{f}_{x_j}(\varepsilon)=i\varepsilon_j\tilde{f}(\varepsilon).

Аналогично, при соответствующих предположениях, преобразование Фурье функции \partial^k f(x)/(\partial x_1^{k_1}...\partial x_{n}^{k_n}),~k_1+...+k_n=k\geqslant 1, имеет вид

\frac{\tilde{\partial^k f}}{\partial x_1^{k_1}...\partial x_n^{k_n}}(\varepsilon)=(i\varepsilon_1)^{k_1}...(i\varepsilon_n)^{k_n}\tilde(f)(\varepsilon).

Поэтому в частности, преобразование Фурье от оператора Лапласа от функции f.

\tilde{\Delta}f(\varepsilon)=\left((i\varepsilon_1)^2+...+(i\varepsilon_n)^2\right)\tilde{f}(\varepsilon)=-|\varepsilon|^2\tilde{f}(\varepsilon).

Обратное преобразование Фурье:

f(x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int\limits_{\mathbb{R}_n}e^{i(x,\varepsilon)}\tilde{f}(\varepsilon)d\varepsilon,~~x\in\mathbb{R}_n.

Перейдем к рассмотрению задачи рассмотрим однородное уравнение

u_t-\Delta u=0,~~x\in\mathbb{R}_n,~~t>0,

u|_{t=0}=\varphi(x),~~x\in\mathbb{R}_n

пусть решение u(x,t) задачи существует. Цель получить явное выражение функции u(x,t) через \varphi(x). Умножая тождество (2.1) при t>0 на e^{-i(x,\varepsilon)}, где \varepsilon - произвольная точка из \mathbb{R}_n, и интегрируя полученное равенство по x\in\mathbb{R}_n, получим

\tilde{u}_t(\varepsilon, t)+|\varepsilon|^2\tilde{u}(\varepsilon,t)=0,~~\varepsilon\in\mathbb{R}_n,~t>0,

где \tilde{u}(\varepsilon,t) - зависящее от параметра t>0 преобразование Фурье функции u(x,t) по переменным x\in\mathbb{R}_n:

\tilde{u}(\varepsilon,t)=\int\limits_{\mathbb{R}_n}u(x,t)e^{-i(x,\varepsilon)}dx.

Аналогично из (2.2) имеем равенство

\tilde{u}(\varepsilon,t)|_{t=0}=\tilde{\varphi}(\varepsilon).

Получаем для функции \tilde{u}(\varepsilon, t) при произвольном фиксированном \varepsilon \in \mathbb{R}_n есть задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Ее решение имеет вид

\tilde{u}(\varepsilon,t)=e^{-|\varepsilon|^2t}\tilde{\varphi}(\varepsilon),~t>0,~\varepsilon \in \mathbb{R}_n.

Следовательно решением изначальной задачи с помощью обратного преобразования Фурье представляется в виде

u(x,t)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int\limits_{\mathbb{R}_n}\tilde{u}(\varepsilon, t)e^{i(x,\varepsilon) d\varepsilon}=\frac{1}{(2\pi)^n}\int\limits_{\mathbb{R}_n}e^{-|\varepsilon|^2t}\tilde{\varphi}(\varepsilon)e^{-(x,\varepsilon)}d\varepsilon=
\int\limits_{\mathbb{R}_n}\varphi(y)\left[\frac{1}{(2\pi)^n}\int\limits_{\mathbb{R}_n}e^{-|\varepsilon|^2t} e^{i(x-y,\varepsilon)}d\varepsilon\right]dy=\int\limits_{\mathbb{R}_n}K(x-y,t)\varphi(y)dy,

где

K(z,t)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int\limits_{\mathbb{R}_n}e^{i(z,\varepsilon)}e^{-|\varepsilon|^2t}d\varepsilon,~z=(z_1,...,z_n)\in\mathbb{R}_n,~~t>0.

Для функции K(z,t) имеем равенство

K(z,t)=\prod^n_{j=1}\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{iz_j\varepsilon_j}e^{-\varepsilon_j^2 t}d\varepsilon_j=\prod^n_{j=1}k(z_j,t)

,

где

k(\alpha,t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{iz_j\varepsilon_j}e^{-\varepsilon_j^2 t}d\varepsilon_j=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\cos\alpha\varepsilon\cdot e^{-\varepsilon^2 t}d\varepsilon

Так как

\frac{\partial k}{\partial \alpha}=-\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varepsilon\sin \alpha\varepsilon e^{-\varepsilon^2 t}d\varepsilon=-\frac{\alpha}{4t\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\cos\alpha\varepsilon e^{-\varepsilon^2 t}d\varepsilon=-\frac{\alpha}{2t}k(\alpha,t) ,

то k(\alpha,t)=e^{-\alpha^2/4t}k(0,t). Но

k(0,t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-\varepsilon^2 t}d\varepsilon=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}},

поэтому

k(\alpha,t)=\frac{e^{-\alpha^2/4t}}{2\sqrt{\pi t}}
K(z,t)=\prod^n_{j=1}\frac{e^{-\alpha^2/4t}}{2\sqrt{\pi t}}=\frac{e^{-|z|^2/4t}}{(2\sqrt{\pi t})^n}

и следовательно

u(x,t)=\frac{1}{(2\sqrt{\pi t})^n}\int\limits_{\mathbb{R}_n}e^{-|x-y|^2 /4t}\varphi(y)dy


Система Orphus

Комментарии