Преобразованием Фурье непрерывной и абсолютно интегрируемой в $\mathbb{R}_n$ , функции $f(x)$ называется функция

$\tilde{f}(\varepsilon)=\int\limits_{\mathbb{R}_n}e^{-i(x,\varepsilon)}f(x)dx,~~~\varepsilon=(\varepsilon_1,...,\varepsilon_2)\in\mathbb{R}_n$ ,

где $(x,\varepsilon)=x_1\varepsilon_1+...+x_n\varepsilon_n$ .

Если функция $f$ имеет непрерывную производную $f_{x_j}(x)$ , также абсолютно интегрируемую в $\mathbb{R}_n$ , то преобразование Фурье функции $f_{x_j}(x)$ связано с преобразованием Фурье функции $f(x)$ следующим образом:

$\tilde{f}_{x_j}(\varepsilon)=i\varepsilon_j\tilde{f}(\varepsilon)$ .

Аналогично, при соответствующих предположениях, преобразование Фурье функции $\partial^k f(x)/(\partial x_1^{k_1}...\partial x_{n}^{k_n}),~k_1+...+k_n=k\geqslant 1$ , имеет вид

$\frac{\tilde{\partial^k f}}{\partial x_1^{k_1}...\partial x_n^{k_n}}(\varepsilon)=(i\varepsilon_1)^{k_1}...(i\varepsilon_n)^{k_n}\tilde(f)(\varepsilon)$ .

Поэтому в частности, преобразование Фурье от оператора Лапласа от функции $f$ .

$\tilde{\Delta}f(\varepsilon)=\left((i\varepsilon_1)^2+...+(i\varepsilon_n)^2\right)\tilde{f}(\varepsilon)=-|\varepsilon|^2\tilde{f}(\varepsilon)$ .

Обратное преобразование Фурье:

$f(x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int\limits_{\mathbb{R}_n}e^{i(x,\varepsilon)}\tilde{f}(\varepsilon)d\varepsilon,~~x\in\mathbb{R}_n$ .

Перейдем к рассмотрению задачи рассмотрим однородное уравнение

$u_t-\Delta u=0,~~x\in\mathbb{R}_n,~~t>0$ ,

$u|_{t=0}=\varphi(x),~~x\in\mathbb{R}_n$

пусть решение $u(x,t)$ задачи существует. Цель получить явное выражение функции $u(x,t)$ через $\varphi(x)$ . Умножая тождество (2.1) при $t>0$ на $e^{-i(x,\varepsilon)}$ , где $\varepsilon$ - произвольная точка из $\mathbb{R}_n$ , и интегрируя полученное равенство по $x\in\mathbb{R}_n$ , получим

$\tilde{u}_t(\varepsilon, t)+|\varepsilon|^2\tilde{u}(\varepsilon,t)=0,~~\varepsilon\in\mathbb{R}_n,~t>0$ ,

где $\tilde{u}(\varepsilon,t)$ - зависящее от параметра $t>0$ преобразование Фурье функции $u(x,t)$ по переменным $x\in\mathbb{R}_n$ :

$\tilde{u}(\varepsilon,t)=\int\limits_{\mathbb{R}_n}u(x,t)e^{-i(x,\varepsilon)}dx$ .

Аналогично из (2.2) имеем равенство

$\tilde{u}(\varepsilon,t)|_{t=0}=\tilde{\varphi}(\varepsilon)$ .

Получаем для функции $\tilde{u}(\varepsilon, t)$ при произвольном фиксированном $\varepsilon \in \mathbb{R}_n$ есть задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Ее решение имеет вид

$\tilde{u}(\varepsilon,t)=e^{-|\varepsilon|^2t}\tilde{\varphi}(\varepsilon),~t>0,~\varepsilon \in \mathbb{R}_n$ .

Следовательно решением изначальной задачи с помощью обратного преобразования Фурье представляется в виде

$u(x,t)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int\limits_{\mathbb{R}_n}\tilde{u}(\varepsilon, t)e^{i(x,\varepsilon) d\varepsilon}=\frac{1}{(2\pi)^n}\int\limits_{\mathbb{R}_n}e^{-|\varepsilon|^2t}\tilde{\varphi}(\varepsilon)e^{-(x,\varepsilon)}d\varepsilon=$ $\int\limits_{\mathbb{R}_n}\varphi(y)\left[\frac{1}{(2\pi)^n}\int\limits_{\mathbb{R}_n}e^{-|\varepsilon|^2t} e^{i(x-y,\varepsilon)}d\varepsilon\right]dy=\int\limits_{\mathbb{R}_n}K(x-y,t)\varphi(y)dy$ ,

где

$K(z,t)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int\limits_{\mathbb{R}_n}e^{i(z,\varepsilon)}e^{-|\varepsilon|^2t}d\varepsilon,~z=(z_1,...,z_n)\in\mathbb{R}_n,~~t>0$ .

Для функции $K(z,t)$ имеем равенство

$K(z,t)=\prod^n_{j=1}\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{iz_j\varepsilon_j}e^{-\varepsilon_j^2 t}d\varepsilon_j=\prod^n_{j=1}k(z_j,t)$

где

$k(\alpha,t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{iz_j\varepsilon_j}e^{-\varepsilon_j^2 t}d\varepsilon_j=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\cos\alpha\varepsilon\cdot e^{-\varepsilon^2 t}d\varepsilon$

Так как

$\frac{\partial k}{\partial \alpha}=-\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varepsilon\sin \alpha\varepsilon e^{-\varepsilon^2 t}d\varepsilon=-\frac{\alpha}{4t\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\cos\alpha\varepsilon e^{-\varepsilon^2 t}d\varepsilon=-\frac{\alpha}{2t}k(\alpha,t)$ ,

то $k(\alpha,t)=e^{-\alpha^2/4t}k(0,t)$ . Но

$k(0,t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-\varepsilon^2 t}d\varepsilon=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}$ ,

поэтому

$k(\alpha,t)=\frac{e^{-\alpha^2/4t}}{2\sqrt{\pi t}}$ $K(z,t)=\prod^n_{j=1}\frac{e^{-\alpha^2/4t}}{2\sqrt{\pi t}}=\frac{e^{-|z|^2/4t}}{(2\sqrt{\pi t})^n}$

и следовательно

$u(x,t)=\frac{1}{(2\sqrt{\pi t})^n}\int\limits_{\mathbb{R}_n}e^{-|x-y|^2 /4t}\varphi(y)dy$

Сказать "Спасибо"

Вывод формулы Пуассона с помощью преобразования Фурье.

Комментарии