Система Orphus

Система Orphus

Единственность классического решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в ограниченной области.

Теорема 1.

Пусть D - ограниченная область в \mathbb{R}^n. Если решение u(x,t) смешанной задачи для уравнения теплопроводности

u_t(x,t)-a^2(x,t)\Delta_x u(x,t)=f(x,t),~(x,t)\in G=D\times (0;T)

с начальными условиями

u(x,0)=u_0(x),~u_(0)\in C(\bar{D})

с граничными условиями первого рода

u(x,t)|_{x\in\partial D}=v(x,t),~v(x,t)\in C(\partial D\times [0;T])

существует в классе функций C_{x,t}^{2,1}(G)\cap C(\bar{G}), то оно единственно в этом классе и непрерывно зависит от начальных и граничных данных (в равномерной метрике).

Доказательство теоремы 1. Единственность. Пусть \tilde{u} и \hat{u} - решение задачи. Тогда их разность u=\tilde{u}-\hat{u} удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности с однородными начальными и граничными условиями:

u_t(x,t)=a^2(x,t)\Delta_x u_x(x,t),~~(x,t)\in G,
u(x,0)=0,
u(x,t)|_{x\in\partial D}=0.

Согласно принципу максимума в ограниченной области выполняются неравенства

0\leqslant u(x,t)\leqslant 0~(x,t)\in\bar{G}

Следовательно \tilde{u}=\hat{u} в \bar{G}.

Непрерывная зависимость. Пусть теперь \tilde{u} и \hat{u} - решение задачи Коши отвечающие различным начально-краевым данным: \tilde{u_0},\tilde{u_0} и \hat{u_0},\hat{v} соответственно. Тогда разность u=\tilde{u}-\hat{u} является решением смешанной задачи для однородного уравнения теплопроводности

u_t(x,t)=a^2(x,t)\Delta_x u(x,t),~(x,t)\in G

с начальными условиями

u(x,0)=\hat{u_0}-\tilde{u_0}

и граничными условиями

u(x,t)|_{x\in\partial D}=\tilde{v}(x,t)-\hat{v}(x,t).

Воспользуемся для функции u принципом максимума, получаем оценку

|\tilde{u}(x,t)-\hat{u}(x,t)|\leqslant \max\left\{\sup_{\bar{D}}|\tilde{u_0}-\hat{u_0},\sup_{\partial D\times [0;T]}|\tilde{v}-\hat{v}|\right\},~~(x,t)\in\bar{G},

что означает непрерывную зависимость решения от начальных и краевых данных в равномерной метрике. Из принципа единственности максимума в неограниченной области вытекает следующее

Теорема 2.

Если решение задачи Коши

u_t(x,t)-a^2(x,t)\Delta_x u(x,t)=f(x,t),~(x,t)\in G =\mathbb{R}^n\times (0;T),
u(x,0)=u_0(x),~u_0\in C(\mathbb{R}^n)

с ограниченными начальными данными u_0 существует в классе функций C_{x,t}^{2,1}(G)\cap C(\bar{G})\cap B(\bar{G}), то оно единственно в нем и непрерывно зависит от начальных данных.


Система Orphus

Комментарии