Пусть $H$ - линейное пространство над полем действительных (комплексных) чисел, $M$ - линейное многообразтие в $H$ , $A$ - линейный оператор, отображающий $M$ в $H$ .

Определение 1. Действительное (комплексное) число $\lambda$ называется собственным значением (числом) оператора $A$ , если существует ненулевой элемент $\varphi$ из $M$ такой, что $A\varphi=\lambda\varphi$ . Элемент $\varphi$ в этом случае называется собственным вектором (или собственной функцией).

Определение 2. Собственное значение называется простым, если существует единственный линейно независимый собственный вектор отвечающий ему.

Определение 3. Оператор $A$ - называется симметричным на многообразии $M$ , если для любых двух элементов $\varphi$ и $\psi$ из $M$ выполняется равенство $(A\varphi,\psi)=(\varphi,A\psi)$

Теорема 1. Пусть $A$ - симметричный на $M$ , тогда его собственные значения действительны.

Доказательство. Пусть $\lambda$ - собственное значение. Тогда

$\lambda(\varphi,\varphi)=(A\varphi,\varphi)=(\varphi,\bar{A}\varphi)=(\varphi,\bar{\lambda}\varphi)=\bar{\lambda}(\varphi,\varphi)$

из этого следует, что $\lambda=\bar{\lambda}$

Теорема 2. Пусть $A$ - симметричный. Тогда собственные вектора отвечающие различным собственным значениям ортогональны.

Доказательство.

$\lambda_1(\varphi,\psi)=\lambda_2(\varphi,\psi)$

это возможно, только при $(\varphi,\psi)=0$

Определение 4. Оператор $A$ называется положительно (неотрицательно) определенным на многообразии $M$ , если для любого ненулевого элемента $\varphi$ из $M$ выполняется неравенство $(A\varphi,\varphi)>=0$ ( $(A\varphi,\varphi)<=0$ )

Теорема 3. Все собственные значения положительно(неотрицательно) определенного линейного оператора $A$ положительны(неотрицательны).

Доказательство. Пусть $\lambda$ - собственное значение.Тогда

$\lambda(\varphi,\varphi)=(A\varphi,\varphi)>0$

Получаем, что $\lambda>0$ так как $(\varphi,\varphi)>0$ по определению.

Сказать "Спасибо"

Комментарии