Система Orphus

Система Orphus

Свойства собственных чисел и собственных функций вещественного симметричного обыкновенного дифференциального оператора с однородными краевыми условиями Дирихле и Неймана.

Пусть H - линейное пространство над полем действительных (комплексных) чисел, M - линейное многообразтие в H, A - линейный оператор, отображающий M в H.

Определение 1. Действительное (комплексное) число \lambda называется собственным значением (числом) оператора A, если существует ненулевой элемент \varphi из M такой, что A\varphi=\lambda\varphi. Элемент \varphi в этом случае называется собственным вектором (или собственной функцией).

Определение 2. Собственное значение называется простым, если существует единственный линейно независимый собственный вектор отвечающий ему.

Определение 3. Оператор A - называется симметричным на многообразии M, если для любых двух элементов \varphi и \psi из M выполняется равенство (A\varphi,\psi)=(\varphi,A\psi)

Теорема 1. Пусть A - симметричный на M, тогда его собственные значения действительны.

Доказательство. Пусть \lambda - собственное значение. Тогда

\lambda(\varphi,\varphi)=(A\varphi,\varphi)=(\varphi,\bar{A}\varphi)=(\varphi,\bar{\lambda}\varphi)=\bar{\lambda}(\varphi,\varphi)

из этого следует, что \lambda=\bar{\lambda}

Теорема 2. Пусть A - симметричный. Тогда собственные вектора отвечающие различным собственным значениям ортогональны.

Доказательство.

\lambda_1(\varphi,\psi)=\lambda_2(\varphi,\psi)

это возможно, только при (\varphi,\psi)=0

Определение 4. Оператор A называется положительно (неотрицательно) определенным на многообразии M, если для любого ненулевого элемента \varphi из M выполняется неравенство (A\varphi,\varphi)>=0 ((A\varphi,\varphi)<=0)

Теорема 3. Все собственные значения положительно(неотрицательно) определенного линейного оператора A положительны(неотрицательны).

Доказательство. Пусть \lambda - собственное значение.Тогда

\lambda(\varphi,\varphi)=(A\varphi,\varphi)>0

Получаем, что \lambda>0 так как (\varphi,\varphi)>0 по определению.


Система Orphus

Комментарии