Система Orphus

Система Orphus

Симметричность и знакоопределенность оператора Лапласа с однородными краевыми условиями Дирихле и Неймана.

7 74

Пусть D - ограниченная область в \mathbb{R}^n с кусочно гладкой границей \partial D. Рассмотрим в гильбертовом пространстве L_2(D) линейные многообразия

M_1=M\cap\left\{u(x)~:~u|_{\partial D}=0\right\},
M_2=M\cap\left\{u(x)~:~\frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial D}=0\right\},
M_3=M\cap\left\{u(x)~:~\left(ku+\frac{\partial u}{\partial n}\right)|_{\partial D}=0,~k>0\right\},

где M=\left\{u(x)~:~u\in C^2(D)\cap C^1(\bar{D}),~\Delta u\in L_2(D)\right\}, n - внешняя (по отношению к D) единичная нормаль к \partial D. Линейные многообразия M_1, M_2 и M_3 состоят из функций, удовлетворяющих граниным условиям соответственно первого рода (Дирихле), второго рода (Неймана) и третьего рода.

Теорема 7

Дифференциальный оператор A=-\Delta на линейных многообразиях M_1, M_2 и M_3 симметричен, причем на линейных многообразиях M_1 и M_3 он положительно определен, а на M_2 - неотрицательно.

Доказательство теоремы 7.

Симметричность. Рассмотрим две произвольные функции u(x) и v(x) из M и запишем для u и v вторую формулу Грина

(Au,v)-(u,Av)=\int\limits_{D}\left(-\Delta u\cdot v+u\Delta v\right)dx=\int\limits_{\partial D}\left(-\frac{\partial u}{\partial n}v+u\frac{\partial v}{\partial n}\right)ds.

Из граничных условий следует, что \left(-\frac{\partial u}{\partial n}v+u\frac{\partial v}{\partial n}\right)|_{\partial D}=0 . Следовательно, (Au,v)=(u,Av).

Положительная (неотрицательная) определенность. Пусть u(x) - произвольная функция из M, не нулевая функция. Запишем первую формулу Грина для функции u(x) и \bar{u(x)}:

(Au,u)=-\int\limits_{D}\Delta u\bar{u}dx=\int\limits_{D}|\mathrm{grad}u|^2dx-\int\limits_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial n}\bar{u}ds.

Далее рассмотрим три варианта.

1) Пусть u\in M_1

(Au,u)=\int\limits_{D}|\mathrm{grad}u|^2dx>0,


2) Пусть u\in M_2

(Au,u)=\int\limits_{D}|\mathrm{grad}u|^2dx\geqslant 0,


3) Пусть u\in M_3

(Au,u)=\int\limits_{D}|\mathrm{grad}u|^2dx+k\int\limits_{\partial D}|u|^2 ds>0,


Система Orphus

Комментарии