Система Orphus

Система Orphus

Классификация и приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с вещественными переменными коэффициентами в случае двух независимых переменных.

Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид

a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+F_1(x, y, u, u_x, u_y)=0,~~~~~(1)

где a_{11}, a_{12}, a_{22} являются функциями x и y.

Если коэффициенты a_{11}, a_{12}, a_{22} не только зависят от x и y а являются подобно F_1, функциями x, y, u, u_x, u_y, то такое уравнение называется квазилинейным.

Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных u_{xx}, u_{xy}, u_{yy}, так и относительно функции u и её первых производных u_x, u_y:

a_{11}u_{xx}+2a_{21}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_1u_x+b_2u_y+cu+f=0,~~~~~(2)

где a_{11}, a_{21}, a_{22}, b_1, b_2, c, f - функции только x, и y. Если коэффициенты уравнения (2) не зависят от x и y, то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Уравнение называется однородным, если f=0.

C помощью преобразования переменных

\xi=\varphi(x, y),~~~~~\eta=\psi(x, y),

допускающего обратное преобразование, мы получаем новое уравнение, эквивалентное исходному. Рассмотрим уравнение, линейное относительно старших производных вида (1) с двумя независимыми переменными x и y:

a_{11}u_{xx}+2a_{22}u_{yy}+F(x, y, u, u_x, u_y)=0.

Преобразуя производные к новым переменным, получаем

u_x=u_\xi\xi_x+u_\eta\eta_x,
u_y=u_\xi\xi_y+u_\eta\eta_y,
u_{xx}=u_{\xi\xi}\xi_x^2+2u_{\xi\eta}\xi_x\eta_x+u_{\eta\eta}\eta_x^2+u_{\xi}\xi_{xx}+u_{\eta}\eta_{xx},
u_{xy}=u_{\xi\xi}\xi_x\xi_y+u_{\xi\eta})(\xi_x\eta_y+\xi_y\eta_x)+u_{\eta\eta}\eta_x\eta_x+u_{\xi}\xi_{xy}+u_{\eta}\eta_{xy},

u_{yy}=u_{\xi\xi}\xi_y^2+2u_{\xi\eta}\xi_y\eta_y+u_{\eta\eta}\eta_y^2+u_\xi\xi_{xy}+u_{\eta}\eta_{xy},~~~~~~(3)

Подставляя значения производных из (3) в уравнение (1), будем иметь

\overline{a}_{11}=a_{11}\xi_x^2+2a_{12}\xi_x\xi_y+a_{22}\xi_y^2
\overline{a}_{12}=a_{11}\xi_x\eta_x+a_{12}(\xi_x\eta_y+\xi_y\eta_x)+a_{22}\xi_y\eta_y,
\overline{a}_{22}=a_{11}\eta_x^2+2a_{12}\eta_x\eta_y+a_{22}\eta_y^2,

a функция \overline{F} не зависит от вторых производных. Заметим, что если исходное уравнение линейно, т.е.

F(x,y,u,u_x,u_y)=b_1u_x+b_2u_y+cu+f,

то \overline{F} имеет вид

\overline{F}(\xi, \eta, u, u_\xi, u_\eta)=\beta_1u_\xi+\beta_2u_\eta+\gamma u+\delta,

т.е. уравнение остается линейным. Выберем переменные \xi и \eta так, чтобы коэффициент \overline{a}_{11} был равен нулю. Рассмотрим уравнение с частными производными 1-го порядка

a_{11}z_x^2+2a_{12}z_xz_y+a_{22}z_y^2=0.~~~~~(5)

Пусть z=\varphi(x, y) - какое-нибудь частичное решение этого уравнения. Если положить \xi=\varphi(x, y), то коэффициент \overline{a}_{11}, очевидно, будет равен нулю. Таким образом, упомянутая выше задача о выборе новых независимых переменных связана с решением уравнения (5).

Докажем следующие леммы.

1. Если z=\varphi(x, y) - какое-нибудь частное решение этого уравнения

a_{11}z_x^2+2a_{12}z_xz_y+a_{22}z_y^2=0,

то соотношение \varphi(x,y)=C представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

a_{11}dy^2-2a_{12}dxdy+a_{22}dx^2=0.~~~~~(6)

2. Если \varphi(x, y)=C представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

a_{11}dy^2-2a_{12}dxdy+a_{22}dx^2=0,

то функция z=\varphi(x, y) удовлетворяет уровнению (5).

Докажем первую лемму. Посколько функция z=\varphi(x, y) удовлетворяет уровнению (5), то равенство

a_{11}\left(\frac{\varphi_x}{\varphi_y}\right)^2-2a_{12}\left(-\frac{\varphi_x}{\varphi_y}\right)+a_{22}=0

является тождеством: оно удовлетворяется для всех x,~y в той области, где задано решение. Соотношение \varphi(x, y)=C является общим интегралом уравнения (6), если функция y, определенная из неявного соотношения \varphi(x, y)=C, удовлетворяет уравнению (6). Пусть

y=f(x, C)

есть эта функция; тогда

\frac{dy}{dx}=-\left[\frac{\varphi_x(x, y)}{\varphi_y(x, y)}\right]_{y=f(x,C)},~~~~~(8)

где квадратные скобки и индекс y=f(x, C) указывают, что в правой части равенства (8) переменная y не является независимой переменной, а имеет значение, равное f(x, C). Отсюда следует, что y=f(x, C) удовлетворяет уравнению (6), так как

a_{11}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-2a_{12}\frac{dy}{dx}+a_{22}=\left[a_{11}\left(-\frac{\varphi_x}{\varphi_y}\right)^2-2a_{12}\left(-\frac{\varphi_x}{\varphi_y}\right)+a_{22}\right]_{y=f(x,C)}=0,

поскольку выражение в квадратных скобках равно нулю при всех значениях x, y, а не только при y=f(x, C).

Докажем вторую лемму. Пусть \varphi(x, y)=C - общий интеграл уравнения (6). Докажем, что

a_{11}\varphi_x^2+2a_{12}\varphi_x\varphi_y+a_{22}\varphi_y^2=0~~~~~(7')

для любой точки (x, y). Пусть (x_0, y_0) - какая-нибудь заданная точка. Если мы докажем, что в ней удовлетворяется равенство (7'), то отсюда в силу произвольности (x_0, y_0) будет следовать равенство (7') есть тождество и функция \varphi(x, y) является решением уравнения (7'). Проведем через точку (x_0, y_0) интегральную кривую уравнения (6), полагая \varphi(x_0, y_0)=C_0 и рассматривая кривую y=f(x, C_0). Очевидно, что y_0=f(x_0, C_0). Для всех точек кривой имеем

a_{11}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-2a_{12}\frac{dy}{dx}+a_{22}=\left[a_{11}\left(-\frac{\varphi_x}{\varphi_y}\right)^2-2a_{12}\left(-\frac{\varphi_x}{\varphi_y}\right)+a_{22}\right]_{y=f(x, C_0)}=0.

Полагая в последнем равенстве x=x_0, получаем

a_{11}\varphi_x^2(x_0, y_0)+2a_{12}\varphi_x(x_0, y_0)\varphi_y(x_0,y_0)+a_{22}\varphi_y^2(x_0, y_0)=0,

что и требовалось доказать.

Уравнение (6) называется характеристическим для уравнения (1), а его интегралы - характеристиками.

Полагая \xi=\varphi(x,y), где \varphi(x,y)=const есть общий интеграл уравнения (6), мы обращаем в нуль коэффициент при u_{\xi\xi}. Если \psi(x,y)=const является другим общим интегралом уравнения (6), независимым от \varphi(x,y), то полагая \eta=\psi(x,y), мы обратим в нуль также и коэффициент при u_{\eta\eta}.

Уравнение (6) распадается на два уравнения

\frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}+\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}}{a_{11}},~~~~~~(9)
\frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}-\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}}{a_{11}}.~~~~~~(10)

Знак подкоренного уравнения определяет тип уравнения (1)

a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+F=0

Это уравнение мы будем называть в точке M уравнением

гиперболического типа, если в точке M a_{12}^2-a_{11}a_{22}>0,

параболического типа, если в точке M a_{12}^2-a_{11}a_{22}=0,

эллиптического типа, если в точке M a_{12}^2-a_{11}a_{22}<0.


Система Orphus

Комментарии