Система Orphus

Система Orphus

Непрерывная зависимость решения от граничных данных.

Если существует решение внутренней задачи Дирихле в классе функций C^2(D)\cap C(\bar{D}), то оно единственно в этом классе и непрерывно зависит от граничных данных u_0 в равномерной метрике.

Доказательство.

Непрерывная зависимость. Пусть теперь \tilde{u}(x) и \hat{u}(x) - решения задачи Дирихле, отвечающие граничным данным \tilde{u}_0 и \hat{u}_0 соответственно. Тогда разность u(x)=\tilde{u}(x)-\hat{u}(x) является внутренней задачи Дирихле

\Delta u(x)=0,~~x\in D,
u(x)=u_0(x)=\tilde{u}_0(x)-\hat{u}_0(x),~~x\in \partial D.

Воспользуемся для u(x) принципом максимума:

\max_{x\in \bar{D}}|u(x)|=\max\left\{\max_{x\in \bar{D}} u(x)-\min_{x\in \bar{D}} u(x)\right\}=
=\max\left\{\max_{x\in \partial D} u_0(x)-\min_{x\in \partial D} u_0(x)\right\}=\max_{x\in \partial D}|u_0(x)|

Сделовательно

\max_{x\in \bar{D}}|\tilde{u}(x)-\hat{u}(x)|=\max_{x\in \partial D}|\tilde{u}_0(x)-\hat{u}_0(x)|


Система Orphus

Комментарии