Непрерывная зависимость решения от граничных данных.

Если существует решение внутренней задачи Дирихле в классе функций $C^2(D)\cap C(\bar{D})$ , то оно единственно в этом классе и непрерывно зависит от граничных данных $u_0$ в равномерной метрике.

Доказательство.

Непрерывная зависимость. Пусть теперь $\tilde{u}(x)$ и $\hat{u}(x)$ - решения задачи Дирихле, отвечающие граничным данным $\tilde{u}_0$ и $\hat{u}_0$ соответственно. Тогда разность $u(x)=\tilde{u}(x)-\hat{u}(x)$ является внутренней задачи Дирихле

$\Delta u(x)=0,~~x\in D$ , $u(x)=u_0(x)=\tilde{u}_0(x)-\hat{u}_0(x),~~x\in \partial D$ .

Воспользуемся для $u(x)$ принципом максимума:

$\max_{x\in \bar{D}}|u(x)|=\max\left\{\max_{x\in \bar{D}} u(x)-\min_{x\in \bar{D}} u(x)\right\}=$ $=\max\left\{\max_{x\in \partial D} u_0(x)-\min_{x\in \partial D} u_0(x)\right\}=\max_{x\in \partial D}|u_0(x)|$

Сделовательно

$\max_{x\in \bar{D}}|\tilde{u}(x)-\hat{u}(x)|=\max_{x\in \partial D}|\tilde{u}_0(x)-\hat{u}_0(x)|$

Сказать "Спасибо"

Непрерывная зависимость решения от граничных данных.

Комментарии