$D\subset \mathbb{R}^n$ - область,

точка $x_0\in D$ .

$u(x)$ - гармоническая функция в области $D\setminus \{x_0\}$ ,

причем $u(x)=o(E(x-x_0)),x\to x_0$ ,

где $E(x)$ - фундаментальное решение оператора $-\Delta$ в $\mathbb{R}^n$ ,

то $u(x)$ имеет конечный предел в точке $x_0$ , и после доопределения её по непрерывности, функция $u(x)$ становится гармонической во всей области $D$ .

Доказательство. Приведем все рассуждения для случая $n=3$ , когда $u(x)=o\left(\frac{1}{|x-x_0|}\right),~x\to x_0$ .

Пусть $B_R$ и $B_{\varepsilon}$ - шары с центрами в точке $x_0$ и радиусами $R$ и $\varepsilon$ соответственно, причем $\bar{B_R}\subset D$ и $\varepsilon < R$ . Для произвольного фиксированного $k>0$ рассмотрим функции $w_{+}$ и $w_{-}$

$w_{\pm}(x)=\pm(u(x)-v(x))+k\left(\frac{1}{|x-x_0|}-\frac{1}{R}\right)$ ,

где $v(x)$ - решение следующей задачи Дирихле:

$\Delta v(x)=0~x\in B_{R}, v(x)|_{\partial B_{R}}=u(x)|_{\partial B_{R}}$

Для точек $x\in B_R\setminus \bar{B_\varepsilon}$ запишем очевидные соотношения:

$\Delta w_{\pm}(x)=\pm(\Delta u(x)-\Delta v(x))+k\left(\Delta\frac{1}{|x-x_0|}-\Delta\frac{1}{R}\right)=0$ ,

в силу того, что каждое слагаемое равно нулю.

Оценим функции $\Delta w_{\pm}(x)$ на границе $\partial B_R \cup \partial B_\varepsilon$ области $B_R\setminus\bar{B_\varepsilon}$ . Для одной поверхности результат очевиден

$w_{\pm}(x)|_{\partial B_R}=\pm(u(x)-v(x))|_{\partial B_R}+k\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R}\right)=0$

Введем обозначение $C=\max_{x\in B_R}|v(x)|$ ( $C < \infty$ , так как $v(x)$ - функция непрерывная на компакте $\bar{B_R}$ ). Далее получаем

$w_{\pm}(x)|_{\partial B_\varepsilon}=\pm(u(x)-v(x))|_{\partial B_\varepsilon}+k\left(\frac{1}{\varepsilon}-\frac{1}{R}\right)\geqslant$

$\geqslant k\left(\frac{1}{\varepsilon}-\frac{1}{R}\right)-\max_{x\in \partial B}|u(x)|-\max_{x\in \partial B}|v(x)|\geqslant \left(\frac{k}{\varepsilon}-\max_{x\in \partial B}|u(x)|\right)-\left(\frac{k}{R}-C\right)$ .

Поскольку по условию $\max_{x\in \partial B}|u(x)|=o\left(\frac{1}{\varepsilon}\right),~\varepsilon\to +0$ , то существует $\varepsilon_0(0<\varepsilon_0<R)$ такое, что для любого полодительного $\varepsilon < \varepsilon_0$ выполняется неравенство $\max_{x\in \partial B}|u(x)|\leqslant \frac{k}{2\varepsilon}$ , то есть

$w_{\pm}(x)|_{\partial B}\geqslant \frac{k}{2\varepsilon}-\left(\frac{k}{R}+C\right)$

Таким образом, при фиксированном $k>0$ для произвольного положительного $\varepsilon < \min\left\{\varepsilon_0,\frac{k}{2(k/R+C)}\right\}=\varepsilon_1$ выполняется условие

$w_{\pm}(x)|_{\partial B_R\cup \partial B_\varepsilon}\geqslant 0$ .

Из принципа максимума (в данном случае минимума) для функций, гармонических в ограниченной области (в данном случае $B_R\setminus \bar{B_\varepsilon}$ ), получаем, что для всех положительных значений $\varepsilon < \varepsilon_1$ выполняется неравенство

$w_{\pm}(x)\geqslant 0~~x\in \bar{B_R}\setminus B_{\varepsilon}$

или, что тоже самое,

$w_{\pm}(x)\geqslant 0~~x\in \bar{B_R}\setminus \{x_0\}$

то есть

$|u(x)-v(x)|\leqslant k\left(\frac{1}{|x-x_0|}-\frac{1}{R}\right),~x\in \bar{B_R}\setminus \{x_0\}$

Фиксируя произвольную точку $x\in \bar{B_R}\setminus \{x_0\}$ и устремляя $k$ к нулю, получаем, что $u(x)=v(x)$ в $\bar{B_R}\setminus \{x_0\}$ . теперь доопределение функции $u(x)$ в $x_0$ очевидно:

$u(x_0)=v(x_0)$

Сказать "Спасибо"

Теорема об устранимой особенности для гармонических функций.

Комментарии