Система Orphus

Система Orphus

Теорема об устранимой особенности для гармонических функций.

D\subset \mathbb{R}^n - область,

точка x_0\in D.

u(x) - гармоническая функция в области D\setminus \{x_0\},

причем u(x)=o(E(x-x_0)),x\to x_0,

где E(x) - фундаментальное решение оператора -\Delta в \mathbb{R}^n,

то u(x) имеет конечный предел в точке x_0, и после доопределения её по непрерывности, функция u(x) становится гармонической во всей области D.

Доказательство. Приведем все рассуждения для случая n=3, когда u(x)=o\left(\frac{1}{|x-x_0|}\right),~x\to x_0.

Пусть B_R и B_{\varepsilon} - шары с центрами в точке x_0 и радиусами R и \varepsilon соответственно, причем \bar{B_R}\subset D и \varepsilon < R. Для произвольного фиксированного k>0 рассмотрим функции w_{+} и w_{-}

w_{\pm}(x)=\pm(u(x)-v(x))+k\left(\frac{1}{|x-x_0|}-\frac{1}{R}\right),

где v(x) - решение следующей задачи Дирихле:

\Delta v(x)=0~x\in B_{R}, v(x)|_{\partial B_{R}}=u(x)|_{\partial B_{R}}

.

Для точек x\in B_R\setminus \bar{B_\varepsilon} запишем очевидные соотношения:

\Delta w_{\pm}(x)=\pm(\Delta u(x)-\Delta v(x))+k\left(\Delta\frac{1}{|x-x_0|}-\Delta\frac{1}{R}\right)=0,

в силу того, что каждое слагаемое равно нулю.

Оценим функции \Delta w_{\pm}(x) на границе \partial B_R \cup \partial B_\varepsilon области B_R\setminus\bar{B_\varepsilon}. Для одной поверхности результат очевиден

w_{\pm}(x)|_{\partial B_R}=\pm(u(x)-v(x))|_{\partial B_R}+k\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R}\right)=0

Введем обозначение C=\max_{x\in B_R}|v(x)| (C < \infty, так как v(x) - функция непрерывная на компакте \bar{B_R}). Далее получаем

w_{\pm}(x)|_{\partial B_\varepsilon}=\pm(u(x)-v(x))|_{\partial B_\varepsilon}+k\left(\frac{1}{\varepsilon}-\frac{1}{R}\right)\geqslant

\geqslant k\left(\frac{1}{\varepsilon}-\frac{1}{R}\right)-\max_{x\in \partial B}|u(x)|-\max_{x\in \partial B}|v(x)|\geqslant \left(\frac{k}{\varepsilon}-\max_{x\in \partial B}|u(x)|\right)-\left(\frac{k}{R}-C\right).

Поскольку по условию \max_{x\in \partial B}|u(x)|=o\left(\frac{1}{\varepsilon}\right),~\varepsilon\to +0, то существует \varepsilon_0(0<\varepsilon_0<R) такое, что для любого полодительного \varepsilon < \varepsilon_0 выполняется неравенство \max_{x\in \partial B}|u(x)|\leqslant \frac{k}{2\varepsilon}, то есть

w_{\pm}(x)|_{\partial B}\geqslant \frac{k}{2\varepsilon}-\left(\frac{k}{R}+C\right)

Таким образом, при фиксированном k>0 для произвольного положительного \varepsilon < \min\left\{\varepsilon_0,\frac{k}{2(k/R+C)}\right\}=\varepsilon_1 выполняется условие

w_{\pm}(x)|_{\partial B_R\cup \partial B_\varepsilon}\geqslant 0.

Из принципа максимума (в данном случае минимума) для функций, гармонических в ограниченной области (в данном случае B_R\setminus \bar{B_\varepsilon}), получаем, что для всех положительных значений \varepsilon < \varepsilon_1 выполняется неравенство

w_{\pm}(x)\geqslant 0~~x\in \bar{B_R}\setminus B_{\varepsilon}

или, что тоже самое,

w_{\pm}(x)\geqslant 0~~x\in \bar{B_R}\setminus \{x_0\}

то есть

|u(x)-v(x)|\leqslant k\left(\frac{1}{|x-x_0|}-\frac{1}{R}\right),~x\in \bar{B_R}\setminus \{x_0\}

Фиксируя произвольную точку x\in \bar{B_R}\setminus \{x_0\} и устремляя k к нулю, получаем, что u(x)=v(x) в \bar{B_R}\setminus \{x_0\}. теперь доопределение функции u(x) в x_0 очевидно:

u(x_0)=v(x_0)

Система Orphus

Комментарии