Система Orphus

Система Orphus

Формула Даламбера.

Найдем, в общем виде решение классической задачи Коши для однородного волнового уравнения в \mathbb{R} (уравнения свободных поперечных колебаний бесконечной струны)

u_{tt}(x,t)=a^2 u_{xx}(x,t),~~a>0~~~(1)

в области G=\{(x,t)~:~x\in \mathbb{R},~t>0\} с начальными условиями

u(x,0)=u_0(x),~~u_t(x,0)=u_1(x),~~x\in\mathbb{R}~~~(2).

Для справедливости дальнейших выкладок необходимо, чтобы u_0(x)\in C^2(\mathbb{R}) и u_1(x)\in C^!(\mathbb{R}). Найдем функцию u(x,t) из класса C^2(G)\cap C^1(\bar{G}), удовлеторяющую уравнению (1) и начальными условиями (2).

Уравнение характеристик для уравнения (1) выглядит следующим образом

(dx)^2-a^2(dy)^2=0.

Его решение x=\pm at + const приводят к замене переменных

\varepsilon=x-at,~\eta=x+at,

v(\varepsilon,\eta)=u\left(\frac{\eta+\varepsilon}{2},~\frac{\eta-\varepsilon}{2a}\right)

в результате которой исходное уравнение (1) принимает вид

v_{\varepsilon\eta}(\varepsilon,\eta)=0.

Интегрируя два раза это уравнение (по \varepsilon и по \eta), находим

v(\varepsilon,\eta)=I(\varepsilon)+J(\eta),

или

u(x,y)=I(x-at)+J(x+at),

где I,J - произвольные функции из класса C^2(\mathbb{R}).

Таким образом, решение задачи Коши (1)(2) является суммой прямой волны I(x-at)и обратной волны J(x+at).

Функции I и J легко выражаются через начальные условия (2):

I(x)+J(x)=u_0(x)
-aI'(x)+aJ'(x)=u_1(x)

откуда

I(x)+J(x)=u_0(x)
-aI(x)+aJ(x)=\int\limits_{x_0}^{x}u_1(\lambda)d\lambda

где x_0 - произвольная фиксированная точка на прямой \mathbb{R}. Следовательно,

I(x)=\frac{1}{2}u_0(x)-\frac{1}{2a}\int\limits_{x_0}^{x}u_1(\lambda)d\lambda,~J(x)=\frac{1}{2}u_0(x)+\frac{1}{2a}\int\limits_{x_0}^{x}u_1(\lambda)d\lambda

Итак, приходим к представлению

u(x,t)=\frac{1}{2}[u_0(x-at)+u_0(x+at)]+\frac{1}{2a}\int\limits_{x-at}^{x+at}u_1(\lambda)d\lambda

Эта формула, носящая имя Даламбера, и дает решение поставленной задачи.


Система Orphus

Комментарии