Найдем, в общем виде решение классической задачи Коши для однородного волнового уравнения в $\mathbb{R}$ (уравнения свободных поперечных колебаний бесконечной струны)

$u_{tt}(x,t)=a^2 u_{xx}(x,t),~~a>0~~~(1)$

в области $G=\{(x,t)~:~x\in \mathbb{R},~t>0\}$ с начальными условиями

$u(x,0)=u_0(x),~~u_t(x,0)=u_1(x),~~x\in\mathbb{R}~~~(2)$ .

Для справедливости дальнейших выкладок необходимо, чтобы $u_0(x)\in C^2(\mathbb{R})$ и $u_1(x)\in C^!(\mathbb{R})$ . Найдем функцию $u(x,t)$ из класса $C^2(G)\cap C^1(\bar{G})$ , удовлеторяющую уравнению (1) и начальными условиями (2).

Уравнение характеристик для уравнения (1) выглядит следующим образом

$(dx)^2-a^2(dy)^2=0$ .

Его решение $x=\pm at + const$ приводят к замене переменных

$\varepsilon=x-at,~\eta=x+at$ ,

$v(\varepsilon,\eta)=u\left(\frac{\eta+\varepsilon}{2},~\frac{\eta-\varepsilon}{2a}\right)$

в результате которой исходное уравнение (1) принимает вид

$v_{\varepsilon\eta}(\varepsilon,\eta)=0$ .

Интегрируя два раза это уравнение (по $\varepsilon$ и по $\eta$ ), находим

$v(\varepsilon,\eta)=I(\varepsilon)+J(\eta)$ ,

или

$u(x,y)=I(x-at)+J(x+at)$ ,

где $I,J$ - произвольные функции из класса $C^2(\mathbb{R})$ .

Таким образом, решение задачи Коши (1)(2) является суммой прямой волны $I(x-at)$ и обратной волны $J(x+at)$ .

Функции $I$ и $J$ легко выражаются через начальные условия (2):

$I(x)+J(x)=u_0(x)$ $-aI'(x)+aJ'(x)=u_1(x)$

откуда

$I(x)+J(x)=u_0(x)$ $-aI(x)+aJ(x)=\int\limits_{x_0}^{x}u_1(\lambda)d\lambda$

где $x_0$ - произвольная фиксированная точка на прямой $\mathbb{R}$ . Следовательно,

$I(x)=\frac{1}{2}u_0(x)-\frac{1}{2a}\int\limits_{x_0}^{x}u_1(\lambda)d\lambda,~J(x)=\frac{1}{2}u_0(x)+\frac{1}{2a}\int\limits_{x_0}^{x}u_1(\lambda)d\lambda$

Итак, приходим к представлению

$u(x,t)=\frac{1}{2}[u_0(x-at)+u_0(x+at)]+\frac{1}{2a}\int\limits_{x-at}^{x+at}u_1(\lambda)d\lambda$

Эта формула, носящая имя Даламбера, и дает решение поставленной задачи.

Сказать "Спасибо"

Формула Даламбера.

Комментарии