Группы точек эллиптической кривой над множеством рациональных чисел и над конечными полями

Эллиптическая кривая над полем вещественных чисел

Эллиптическая кривая $E$ над полем вещественных чисел $\mathbb{R}$ :

$E:~y^2=x^3+ax+b$ .

Сложение

Две точки $P(x_1,y_1)$ и $Q(x_2,y_2)$ эллиптической кривой, определенной над вещественным полем $\mathbb{R}$ складываются по правилу:

$P+Q=R\equiv(x_3,y_3)$ ,

$x_3=\lambda^2-x_1-x_2$ ,

$y_3=-y_1+\lambda(x_1-x_3)$ .

где

$\lambda=\begin{cases} \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1},~~P\ne Q,\\ \cfrac{3x_1^2+a}{2y_1}.~~P=Q. \end{cases}$

По определению сложение с противоположной точкой дает точку в бесконечности.

Все точки эллиптической кривой над вещественным полем вместе с точкой в бесконечности $O$ образуют конечную группу $\mathbb{E}(\mathbb{R})$ относительно описанного закона сложения.

Эллиптическая кривая над конечным полем

Эллиптическая кривая $E$ над конечным полем $\mathbb{Z}_p$ :

$E:~y^2=x^3+ax+b\pmod p$ .

Сложение

Две точки $P(x_1,y_1)$ и $Q(x_2,y_2)$ эллиптической кривой, определенной над конечным полем $\mathbb{Z}_p$ складываются по правилу:

$P+Q=R\equiv(x_3,y_3)$ ,

$x_3=\lambda^2-x_1-x_2\pmod p$ ,

$y_3=-y_1+\lambda(x_1-x_3)\pmod p$ .

где

$\lambda=\begin{cases} \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\pmod p,~~P\ne Q,\\ \cfrac{3x_1^2+a}{2y_1}\pmod p.~~P=Q. \end{cases}$

По определению сложение с противоположной точкой дает точку в бесконечности $O$ .

Множество точек эллиптической кривой над конечным полем вместе с точкой в бесконечности $O$ образуют конечную группу $\mathbb{E}(\mathbb{Z}_p)$ относительно описанного закона сложения.

Сказать "Спасибо"

Группы точек эллиптической кривой над множеством рациональных чисел и над конечными полями

Эллиптическая кривая над полем вещественных чисел

Сложение

Эллиптическая кривая над конечным полем

Сложение

Комментарии