Координатное и импульсное представление в квантовой механике

Подобно тому как оператор $\hat{\bold{p}}$ соответствует импульсу, определяя его собственные функции в координатном представлении, можно ввести оператор $\hat{\bold{r}}$ координат частицы в импульсном представлении. Он должен быть определен так, чтобы среднее значение координат могло быть записано в виде

$\bar{\bold{r}}=\int a^{*}(\bold{p})\hat{\bold{r}}a(\bold{p})\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}.~~~~~(15.11)$

C другой стороны это же среднее значение определяется по волновой функции $\psi(\bar{r})$ выражением

$\bar{\bold{r}}=\int \psi^{*}\bold{r}\psi dV$

Подставив $\psi(\bold{r})$ в виде

$\psi(\bold{r})=\int a(\bold{p})\psi_{\bold{p}}(\bold{r})\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}=\int a(\bold{p})e^{i\bold{p}\bold{r}/\hbar}\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}$

и интегрируя по частям, имеем

$\bold{r}\psi(\bold{r})=\int \bold{r}a(\bold{p})e^{i\bold{p}\bold{r}/\hbar}\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}=\int i\hbar e^{i\bold{p}\bold{r}/\hbar}\frac{\partial a(\bold{p})}{\partial\bold{p}}\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}$

C помощью этого выражения и учитывая

$a(\bold{p})=\int\psi(\bold{r})\psi^{*}_{p}(\bold{r})dV=\int\psi(\bold{r})e^{-i\bold{pr}/\hbar}dV$ , находим $\bar{\bold{r}}=\int\int\psi^{*}(\bold{r})i\hbar\frac{\partial a(\bold{p})}{\partial\bold{p}}e^{i\bold{p}\bold{r}/\hbar}dV\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}\int i\hbar a^{*}(\bold{p})\frac{\partial a(\bold{p})}{\partial\bold{p}}\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}$ .

Сравнив с $(15.11)$ , мы видим, что оператор радиус-вектора в импульсном представлении имеет вид

$\hat{\bold{r}}=i\hbar\frac{\partial}{\partial \bold{p}}$ .

Ландавшиц стр.69

Сказать "Спасибо"

Координатное и импульсное представление в квантовой механике

Комментарии