Понятие о производной физической величины по времени не может быть определено в квантовой механике в том смысле, какой он имеет в классической механике. Действительно, определение производной в классической механике связано с рассмотрением значений величины в два близких, но различных моментах времени. Но в квантовой механике величина, имеющая в некоторый момент времени определенное значение, не имеет в следующие моменты вообще никакого определенного значения.

Поэтому понятие производной по времени должно быть определено в квантовой механике иным образом. Естественно определить производную $\dot{f}$ от величины $f$ как величину, среднее значение которой равно производной по времени от среднего значения $\bar{f}$ . Таким образом, имеем, по определению,

$\bar\dot f =\dot{\bar{f}}$ .

Исходя из этого определения, нетрудно получить выражение для квантовомеханического оператора $\hat{\dot{f}}$ , соответствующего величине $\dot{f}$ :

$\begin{array}{l}\bar{\dot{f}}=\dot{\bar{f}}=\frac{d}{dt}\int \psi^{*}f\psi dq=\\ =\int\psi^{*}\frac{\partial \hat{f}}{\partial t}\psi dq+\int \frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}\hat{f}\psi dq+\int \psi^{*}\hat{f}\frac{\partial \psi}{\partial t} dq\end{array}$

Здесь $\partial \hat{f}/\partial t$ - есть оператор, получающейся дифференцированием оператора $\hat{f}$ по времени, от которого последний может зависеть как от параметра. Подставляя для производных $\partial \psi/\partial t, \partial \psi^{*}/\partial t$ их выражения согласно

$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=\hat{H}\psi$

получим

$\bar{\dot{f}}=\int\psi^{*}\frac{\partial \hat{f}}{\partial t}\psi dq+\frac{i}{\hbar}\int\left(\hat{H}^{*}\psi^{*}\right)\hat{f}\psi dq- \frac{i}{\hbar}\int\psi^{*}\hat{f}\left(\hat{H}\psi\right) dq$

Поскольку оператор $\hat{H}$ эрмитов, то

$\int\left(\hat{H}^{*}\psi^{*}\right)\left(\hat{f}\psi\right)dq=\int \psi^{*}\hat{H}\hat{f}\psi dq$

Таким образом имеем

$\bar{\dot{f}}=\int \psi^{*}\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{i}{h}\hat{H}\hat{f}-\frac{i}{h}\hat{f}\hat{H}\right)\psi dq$ .

Поскольку, с другой стороны, должно быть, по определению средних значений, $\bar{\dot{f}}=\int \psi^{*}\hat{\dot{f}}\psi dq$ , то отсюда видно, что выражение, стоящее в скобках под интегралом представляет собой искомый оператор $\hat{\dot{f}}$ :

$\hat{\dot{f}}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{i}{h}\left(\hat{H}\hat{f}-\hat{f}\hat{H}\right)$

Ландавшиц стр 43

Сказать "Спасибо"

Оператор изменения во времени физической величины

Комментарии