Условия совместной измеримости физических величин.

Определение: Физические величины $F$ и $G$ одновременно измеримы, если $\hat{F}$ и $\hat{G}$ обладают обшей системой собственных функций. То есть

$\hat{F}\psi_n(\bold{q})=f_n\psi_n(\bold{q}),~~\hat{G}\psi_n(\bold{q})=g_n\psi_n(\bold{q})$ .

Для простоты будем рассматривать только дискретные спектры.

Определение: Коммутатором двух физических величин называется оператор

$[\hat{F},\hat{G}]\equiv \hat{F}\hat{G}-\hat{G}\hat{F}$ .

Утверждение: Для того чтобы линейные операторы $\hat{F}$ и $\hat{G}$ имели общие собственные функции, необходимо и достаточно, чтобы эти операторы коммутировали.

Доказательство: Так как $\psi_n(\bold{q})$ - полный базис, то $\psi(\bold{q})=\sum_{n}c_n\psi_n(\bold{q})$ . Тогда

$\hat{F}\hat{G}\psi=\hat{F}\hat{G}\sum_{n}c_n\psi_n=\hat{F}\sum_{n}c_ng_n\psi_n=\sum_{n}c_ng_nf_n\psi_n$ $\hat{G}\hat{F}\psi=\hat{G}\hat{F}\sum_{n}c_n\psi_n=\hat{G}\sum_{n}c_nf_n\psi_n=\sum_{n}c_nf_ng_n\psi_n$ .

Следовательно $\hat{F}\hat{G}=\hat{G}\hat{F}$ . Утверждение доказано. Обратное утверждение также верно.

И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория стр.37

Барабанов 1 стр 19

Сказать "Спасибо"

Условия совместной измеримости физических величин.

Комментарии