Пусть и
- операторы физических величин, и
, где
. Докажем, что в любом квантовом состоянии выполняется следующее соотношение (соотношение неопределенностей):
Доказательство: Разобьем доказательство на три части.
1) Покажем, что . Действительно,
Отсюда и следует то, что и требовалось доказать.
2) Покажем, что коммутатор представим в виде
где - эрмитовый оператор (
).
Легко видеть, что
.
Тогда из того, что
следует
где .
3) Докажем соотношение неопределенностей.
Рассмотрим оператор отклонения от среднего . Для него имеем
По определению, . Аналогично для оператора
:
При этом справедливо
Рассмотрим новый оператор , где
- произвольное действительное число. Тогда
C другой стороны
Но так как
то должно быть выполнено
или
Доказательство закончено.
Барабанов 1 стр 20