Общая теория движения в поле центрально-симметричного потенциала

В центральном поле потенциальная энергия частицы зависит только от её расстояния от центра, т.е.

$U(\bold{r})=U(|\bold{r}|)\equiv U(r),~~|\bold{r}|\equiv r.$

Силы, действующие на частицу в центральном поле, разумеется, являются центральными, поскольку

$\bold{F}=-\nabla U=-U'(r)\frac{\bold{r}}{r}$ .

Операторы $\hat{H},\hat{\bold{l}}^2$ и $\hat{l}_{\alpha}$ коммутируют друг с другом. А это означает, что они имеют общую систему собственных функций.

Для оператора квадрата орбитального момента получаем

$\hat{\bold{l}}^2=-\Delta_{\theta,\varphi}$ .

Рассмотрим вид оператора Гамильтона в сферических координатах:

$\hat{H}=\frac{\hat{\bold{p}}^2}{2m}+U(r)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta_{r,\theta,\varphi}+U(r)$

Лапласиан в сферических координатах выглядит следующим образом

$\Delta_{r,\theta,\varphi}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\Delta_{\theta,\varphi}}{r^2},$

Поэтому оператор Гамильтона можно записать так:

$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{\hat{\bold{l}}^2}{r^2},\right)+U(r)$ .

Барабанов 1 стр 38

Сказать "Спасибо"

Общая теория движения в поле центрально-симметричного потенциала

Комментарии