Радиальное уравнение Шредингера

Ищем решение стационарного уравнения Шредингера в виде

$\psi(\bold{r})=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)$ .

Подставляя его в уравнение, получаем

$-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}-\frac{\hat{\bold{l}}^2}{r^2}\right)R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)\right)+$ $+U(r)R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)=ER(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)$ .

Поскольку

$\hat{\bold{l}}^2Y_{lm}(\theta,\varphi)=l(l+1)Y_{lm}(\theta,\varphi)$ ,

то, сокращая $Y_{lm}(\theta,\varphi)$ , находим уравнение для радиальной функции:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right)-\frac{l(l+1)}{r^2}\right)R(r)+U(r)R(r)=ER(r)$ .

Небольшая перегруппировка дает:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right)R(r)+U_{\mathrm{eff}}(r)R(r)=ER(r)$ ,

где введено

$U_{\mathrm{eff}}(r)=U(r)+\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}$ .

Далее примем $R(r)=\frac{u(r)}{r}$ , и, пользуясь тем, что

$\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right)\frac{u(r)}{r}=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2\left(\frac{u'(r)}{r}-\frac{u(r)}{r^2}\right)=$ $=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(ru'(r)-u(r))=\frac{u''}{r}$ ,

получим

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{u''}{r}+U_{\mathrm{eff}}(r)\frac{u(r)}{r}=E\frac{u(r)}{r}$ .

Домножая на $r$ , приходим к окончательному виду уравнению на радиальную функцию $u(r)$ :

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u(r)}{dr^2}+U_{\mathrm{eff}}(r)u(r)=Eu(r)$ .

Этот результат называют радиальным уравнением Шредингера.

Барабанов 1 стр 44

Сказать "Спасибо"

Радиальное уравнение Шредингера

Комментарии