Собственными функциями операторов $\hat{\bold l}^2$ и $\hat{l}_z$ являются сферические гармоники $Y_{lm}(\theta, \varphi)$ :

$\hat{\bold l}^2Y_{lm}(\theta, \varphi)=\lambda Y_{lm}(\theta, \varphi)$ , $\hat{l}_z^2Y_{lm}(\theta, \varphi)=m Y_{lm}(\theta, \varphi)$ .

Подставим в эти уравнения явные выражения для операторов в сферических координатах:

$\begin{cases} \left(-\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}-\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right)\right)Y_{lm}(\theta,\varphi)=\lambda Y_{lm}(\theta, \varphi),\\ -i\frac{\partial}{\partial\varphi}Y_{lm}(\theta,\varphi)=mY_{lm}(\theta,\varphi). \end{cases}$

Решим эту систему дифференциальных уравнений методом разделения переменных:

$Y(\theta,\varphi)=A(\theta)B(\varphi)$

Из второго уравнения получаем

$-i\frac{dB(\varphi)}{d\varphi}=mB(\varphi)~~\to~~B(\varphi)=e^{im\varphi}$

При изменении угла $\varphi$ на $2\pi$ мы возвращаемся в исходную точку пространства. Поскольку волновая функция должна быть однозначной, то

$B(\varphi+2\pi)=B(\varphi)$

то есть

$e^{i2\pi m}=1$ .

Следовательно $m\in\mathbb{Z}$ . Подставляя

$Y_{lm}(\theta,\varphi)=A(\theta)e^{im\varphi}$

в первое уравнение системы и сокращая $e^{im\varphi}$ , получаем уравнение на $A(\theta)$ :

$\left(-\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d}{d\theta}\right)+\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right)A(\theta)=\lambda(l)A(\theta)$ .

Выполним замену переменной:

$\xi=\cos\theta,~~~~-1\leqslant\xi\leqslant 1$ , $\frac{d}{d\theta}=\frac{d\cos\theta}{d\theta}\frac{d}{d\xi}=-\sin\theta\frac{d}{d\xi}$ .

Тогда

$-\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d}{d\theta}\right)=\frac{d}{d\xi}\left(\left(\xi^2-1\right)\frac{d}{d\xi}\right)=(\xi^2-1)\frac{d^2}{d\xi^2}+2\xi\frac{d}{d\xi}$ ,

и уравнения для $A(\xi)$ принимает вид

$\left((\xi^2-1)\frac{d^2}{d\xi^2}+2\xi\frac{d}{d\xi}+\frac{m^2}{1-\xi^2}\right)A(\xi)=\lambda(l)A(\xi)$ .

Из теории уравнений математической физики следует, что расходимостей при $\xi=\pm 1$ нет, только если

$\lambda(l)=l(l+1)$ ,

где $l=|m|,|m|+1,...(l\geqslant|m|)$ . То есть при любых $l=0,1,2...$ получаем уравнение

$\left((xi^2-1)\frac{d^2}{d\xi^2}+2\xi\frac{d}{d\xi}+\frac{m^2}{1-\xi^2}-l(l+1)\right)A(\xi)=0$

где $m=0,\pm 1,\pm 2...\pm l$ . В таком случае $A_{lm}(\xi)$ - это функция без особенностей при $-1\leqslant \xi\leqslant 1$ . Поскольку уравнение содержит $m^2$ , то функции $A_{lm}(\xi)$ и $A_{l,-m}(\xi)$ отличаются только постоянными множителем.