Говорить о поправках к собственным значениям энергии в случае возмущений зависящих от времени нельзя,поскольку при зависящем от времени гамильтониане ( $\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{V}(t)$ ) энергия системы не сохраняется. Задача заключается в приближенном вычислении волновых функций по волновым функциям стационарных состояний невозмущенной системы.

Для этой цели применяют метод, соответствующий известному методу вариации постоянных для решения линейный дифференциальных уравнений.

Нахождение решения.

Пусть $\psi_k^{(0)}$ - волновые функции стационарных состояний невозмущенной системы. Тогда произвольное решение невозмущенного волнового уравнения может быть представлено в виде

$\psi=\sum a_k\psi_k^{(0)}$

Будем теперь искать решение возмущенного уравнения

$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=\left(\hat{H}_0+\hat{V}\right)\psi~~~~~(40.1)$

В виде суммы

$\psi=\sum_k a_k(t)\psi_k^{(0)}~~~~~(40.2)$

где коэффициенты разложения являются функциями времени. Подставив (40.2) в (40.1) и помня, что функции $\psi_k^{(0)}$ удовлетворяют уравнению

$i\hbar\frac{\partial \psi_k^{(0)}}{\partial t}=\hat{H}_0\psi_k^{(0)}$ ,

получим

$i\hbar\sum_k\psi_k^{(0)}\frac{da_k}{dt}=\sum_k a_k\hat{V}\psi_k^{(0)}$

Умножив обе части равенства слева на $\psi^{(0)*}_m$ и интегрируя получим

$i\hbar\frac{da_m}{dt}=\sum_k V_{mk}(t)a_k$ ,

где

$V_{mk}(t)=\int \psi^{(0)*}_m\hat{V}\psi^{(0)}_k dq=V_{mk}e^{i\omega_{mk}t},~~\omega_{mk}=\frac{E_{m}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}{\hbar}$

- матричные элементы возмущения, включающие временной множитель (надо, впрочем иметь в виду, что при зависящем явно от времени $V$ величины $V_{mk}$ тоже являются функциями времени).

В качестве невозмущенной волновой функции выберем волновую функцию $n$ - ого стационарного состояния, чему соответствуют значения коэффициентов в (40.2): $a^{(0)}_n=\delta_{nk}$ . Для определения первого приближения ищем $a_k$ в виде $a_k=a^{(0)}_k+a^{(1)}_k$ , причем в правую часть уравнения $(40.3)$ подставляем $a_k=a^{(0)}_k$ . Это дает