Рассмотрим случай постоянного возмущения

$\left(\hat{V}(\varepsilon,t)=\hat{V}(\varepsilon),~0\leqslant t \leqslant \tau\right)$

вычисления полностью аналогичны для случая гармонического возмущения, полагая $\omega=0$ .

Для описания квантовых переходов удобнее использовать вероятность перехода в единицу времени или скорость квантового перехода $P_{fi}$

$P_{fi}=\frac{dW_{fi}(t)}{dt}$ .

Вычисляя производную по $\tau$ от $W^{(\pm)}_{fi}(\tau)$ в

$W^{(\pm)}_{fi}(\tau)=\frac{4}{\hbar^2}|V_{\pm,fi}|^2\frac{\sin^2[(\omega_{fi}\mp\omega)\tau/2]}{(\omega_{fi}\mp\omega)^2}$

и переходя в полученном результате к пределу $\tau\to\infty$ , находим:

$P^{(\pm)}_{fi}=\frac{2\pi}{\hbar}|V_{\pm,fi}|^2\delta(E_f-E_i\mp\hbar\omega)$ ,

где мы использовали одно из предельных соотношений для $\delta$ - функции

$\delta(x)=\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\frac{\sin ax}{x}$ .

Обычно рассматривается скорость перехода в группу конечных состояний с интервалом энергий $\Delta E=dE$ вблизи $E=E_f$ , а число таких состояний записывается как

$d\rho(E)=\rho(E)dE$

где $\rho(E)$ плотность состояний, т.е. число конечных состояний, приходящихся на единичный интервал энергии. Дифференциальная вероятность перехода в единицу времени в состояния из интервала $\Delta E_f$ получается умножением (4.27) на число таких состояний $\rho(E_f)dE_f$ :

$dP^{(\pm)}_{fi}=\frac{2\pi}{\hbar}|V_{\pm,fi}|^2\delta(E_f-E_i)\rho(E_f)dE_f$ .

Теперь $\delta$ -функция снимается суммированием этого выражения по всем конечным состояниям, удовлетворяющим закону сохранения энергии, т.е. интегрированием по $E_f$ , и в результате полная вероятность перехода в единицу времени приобретает вид:

$P^{(\pm)}_{fi}=\frac{2\pi}{\hbar}|V_{\pm,fi}|^2\rho(E_f),~~E_f=E_i$

Таким образом, под действием постоянного возмущения переходы возможны лишь между вырожденными состояниями с одной и той же энергией: $E_i=E_f$ .

Квантовая 2 стр 46

Сказать "Спасибо"

Квантовые переходы под действием постоянного во времени возмущения.

Комментарии