Состояния дискретного спектра энергии квазиклассичны при больших значениях квантового числа $n$ - порядкового номера состояния. Действительно, это число определяет число узлов собственной функции. Но расстояние между соседними узлами совпадает по порядку величины с дебройлевской длиной волны. При больших $n$ это расстояние мало, так что длина волны мала по сравнению с размерами области движения.

Выведем условие, определяющее квантовые уровни энергии в квазиклассическом случае. Для этого рассмотрим финитное одномерное движение частицы в потенциальной яме; классически доступная область $b\leqslant x \leqslant a$ ограничена двумя точками поворота.

Согласно правилу

$\frac{C}{2\sqrt{|p|}}\exp\underset{U(x)>E}{\left\{-\frac{1}{\hbar}\left|\int\limits_{a}^{x}pdx\right|\right\}}\to\frac{C}{2\sqrt{|p|}}\cos\underset{U(x)<E}{\left\{\frac{1}{\hbar}\left|\int\limits_{a}^{x}pdx\right|\right\}}$

граничное условие в точке $x=b$ приводит (в области справа от нее) к волновой функции

$\psi=\frac{C}{\sqrt{p}}\cos\left(\frac{1}{\hbar}\int\limits_b^xpdx-\frac{\pi}{4}\right)$

Применив это же правило к области слева от точки $x=a$ , получим ту же волновую функцию в виде

$\psi=\frac{C'}{\sqrt{p}}\cos\left(\frac{1}{\hbar}\int\limits_x^apdx-\frac{\pi}{4}\right)$

Для того чтобы эти два выражения совпадали во всей области, сумма их фаз(которая есть величина постоянная) должна быть кратным от $\pi$ :

$\frac{1}{\hbar}\int\limits_b^apdx-\frac{\pi}{2}=n\pi$

причем $C=(-1)^{n}C'$ . Отсюда

$\frac{1}{2\pi\hbar}\oint pdx = n+\frac{1}{2}$ ,

где интеграл $\oint pdx=2\int\limits_b^a pdx$ взят по полному периоду классического движения частицы. Это и есть, определяющее в квазиклассическом случае стационарные состояния частицы. Оно соответствует правилу квантования Бора-Зоммерфельда старой квантовой теории.

Ландавшиц стр 212

Сказать "Спасибо"

Правило квантования Бора-Зоммерфельда

Комментарии