В области I волновая функция должна быть представлена в виде суперпозиции падающей и отраженной волны:

$\Psi_{I}(x)=A\exp\left(\frac{ip_0x}{\hbar}\right)+B\exp\left(-\frac{ip_0x}{\hbar}\right)$

В области III волновая функция описывает прошедшие частицы и имеет вид:

$\Psi_{III}=C\exp\left(\frac{ip_0x}{\hbar}\right)$ .

Коэффициент прохождения $D$ определяется как отношение плотности потока проходящих частиц к плотности потока падающих частиц:

$D=\left|\frac{C^2}{A^2}\right|$

Если барьер, создаваемый плавно меняющимся потенциалом $V(x)$ достаточно широк, то точная волновая функция в области II может быть заменена квазиклассическим приближением:

$\Psi_{II}(x)=\frac{\alpha}{\sqrt{p(x)}}\exp\left(\frac{\int\limits_a^xp(x')dx'}{\hbar}\right)+\frac{\beta}{\sqrt{p(x)}}\exp\left(-\frac{\int\limits_a^xp(x')dx'}{\hbar}\right)$

где $p(x)=\sqrt{2m[V(x)-E]}$ Сшивку волновых функций и их первых производных можно произвести непосредственно в точках $a$ и $b$ , считая предэкспоненциальные функции $\sqrt{p(x)}$ - слабо меняющимися:

$\begin{cases} \left(A\exp\left(\frac{ip_0a}{\hbar}\right)+B\exp\left(-\frac{ip_0a}{\hbar}\right)\right)\sqrt{p_a}=\alpha+\beta\\ \left(A\exp\left(\frac{ip_0a}{\hbar}\right)-B\exp\left(-\frac{ip_0a}{\hbar}\right)\right)ip_0=\sqrt{p_a}(\alpha-\beta),\\ \alpha\exp\left(\frac{\int\limits_a^bp(x')dx'}{\hbar}\right)+\beta\exp\left(-\frac{\int\limits_a^bp(x')dx'}{\hbar}\right)=C\exp\left(\frac{ip_0b}{\hbar}\right)\sqrt{p_b},\\ \sqrt{p_b}\left(\alpha\exp\left(\frac{\int\limits_a^bp(x')dx'}{\hbar}\right)-\beta\exp\left(-\frac{\int\limits_a^bp(x')dx'}{\hbar}\right)\right)=C\exp\left(\frac{ip_0b}{\hbar}\right)ip_0, \end{cases}$

Разрешая систему относительно переменных $A$ и $C$ и при условии

$\frac{\int\limits_a^bp(x)dx}{\hbar}\gg 1$ получим $\frac{C}{A}=\frac{4\exp\left(-\frac{\int\limits_a^bp(x')dx'-ip_0(b-a)}{\hbar}\right)}{\left(\frac{1}{\sqrt{p_a}}-\frac{\sqrt{p_a}}{ip_0}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{p_b}}-\frac{\sqrt{p_b}}{ip_0}\right)}$

или в итоге

$D\sim\exp\left[-\frac{2}{\hbar}\int\limits_a^b\sqrt{2m[V(x)-E]}\right]dx$

Квантовая 2 стр 20

Сказать "Спасибо"

Вероятность проникновения частицы через барьер в квазиклассическом приближении

Комментарии