Производные по времени операторов координаты и импульса частицы в потенциальном поле

$\hat{p}=i\hbar\frac{d}{dx},~\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+U(x)$ . Оператор $\hat{p}$ не зависит от времени $t$ . Вычислим коммутатор

$[\hat{H},\hat{p}]=[U(x),\hat{p}]$ .

Для этого рассмотрим

$[U(x),\hat{p}]f(x)=-i\hbar U(x)f'(x)+i\hbar(U'(x)f(x)+U(x)f'(x))=i\hbar U'(x)f(x)$

Следовательно

$[U(x),\hat{p}]=i\hbar U'(x)$ .

Мы получаем, что

$\frac{d\hat{p}}{dt}=\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{p}]=\frac{i}{\hbar}i\hbar U'(x)=-\frac{dU}{dx}$

Аналогично найдем $\frac{d\hat{x}}{dt}$ . В данном случае

$\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{x}]=\frac{i}{2m\hbar}[\hat{p}^2,\hat{x}]$ .

Вычислим коммутатор $[\hat{p}^2,\hat{x}]$ либо непосредственно

$[\hat{p}^2,\hat{x}]f(x)=-\hbar^2[\frac{d^2}{dx^2},x]f(x)=-\hbar^2(2f'(x)+xf''(x)-xf''(x))=-\hbar^2 f'(x)=-2i\hbar\hat{p}f(x)$ либо через вспомогательное соотношение

$[\hat{p}^2,x]=\hat{p}[\hat{p},x]+[\hat{p},x]\hat{p}=-2i\hbar\hat{p}$ .

Тогда для искомой производной получаем

$\frac{d\hat{x}}{dt}=\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{x}]=\frac{\hat{p}}{m}$ ,

то есть

$\frac{d\hat{x}}{dt}=\frac{\hat{p}}{m}$

Барабанов 1 стр 29

Сказать "Спасибо"

Производные по времени операторов координаты и импульса частицы в потенциальном поле

Комментарии