Теоремы Эренфеста

Операторы $\frac{d\hat{x}}{dt}$ и $\frac{d\hat{p}}{dt}$ определяют скорости изменения средних значений координаты $\langle x\rangle$ и импульса $\langle p\rangle$ , соответственно. Воспользовавшись соотношениями

$\frac{d\hat{x}}{dt}=\frac{\hat{p}}{m},~~~~\frac{d\hat{p}}{dt}=-\frac{dU}{dx}$

получаем

$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\langle \psi|\frac{d\hat{x}}{dt}|\psi\rangle=\langle \psi|\frac{\hat{p}}{m}|\psi\rangle=\frac{\langle p\rangle}{m}$ $\frac{d\langle p\rangle}{dt}\langle \psi|\frac{d\hat{p}}{dt}|\psi\rangle=-\langle\psi|\frac{dU}{dx}|\psi\rangle=-\int\frac{dU}{dx}|\psi|^2dx=-\langle\frac{dU}{dx}\rangle$ .

Следовательно

$m\frac{d^2\langle x\rangle}{dt^2}=-\langle\frac{dU}{dx}\rangle$ .

Пусть $\delta x$ - размер области локализации частицы (размер области, где плотность вероятности $|\psi|^2$ существенно отлична от нуля). Если $\frac{dU}{dx}$ слабо меняется в области существенного изменения $\frac{dU}{dx}$ ), то

$\langle\frac{dU}{dx}\rangle\simeq \left.\frac{dU}{dx}\right|_{x\simeq\langle x\rangle }$

В этом случае движение в области локализации частицы определяется вторым законом Ньютона

$m\frac{d^2\langle x\rangle}{dt^2}\simeq \left.-\frac{dU}{dx}\right|_{x\simeq\langle x\rangle }$

Мы показали, что в пределах $\Delta x\ll L$ классическая динамика выводится из квантовой динамики. Это утверждение называется теоремой Эренфеста.

Барабанов 1 стр 31

Сказать "Спасибо"

Теоремы Эренфеста

Комментарии