Уравнение непрерывности для плотности вероятности

Найдем явный вид плотности тока вероятности в трехмерном координатном пространстве. Оператор Гамильтона имеет вид

$\hat{H}=\frac{\hat{\bold{p}}^2}{2m}+U(\bold{r})=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+U(\bold{r})$ .

Уравнение Шредингера (для волновой функции $\Psi$ ) и комплексно сопряженное уравнение Шредингера (для функции $\Psi^{*}$ ) выглядит следующим образом:

$i\hbar\frac{\partial\Psi(\bold{r},t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi(\bold{r},t)+U(\bold r)\Psi(\bold{r},t)$ , $-i\hbar\frac{\partial\Psi^{*}(\bold{r},t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi^{*}(\bold{r},t)+U(\bold r)\Psi^{*}(\bold{r},t)$ ,

Домножим первое уравнение на $\Psi^{*}$ , а второе на $\Psi$ . Тогда, вычитая из первого уравнения второе, находим:

$i\hbar\left(\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial t}+\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}\right)=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\Psi^{*}\Delta\Psi-\Psi\Delta\Psi^{*}\right)$ .

или

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(\bold{r},t)|^2=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*})$ .

Пусть $\rho(\bold{r},t)=|\Psi(\bold{r},t)|^2$ - плотность вероятности. Тогда полученное соотношение принимает вид уравнения непрерывности

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div}~\bold{j}=0$ .

где $\bold{j}=\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*})$ - плотность потока вероятности.

Барабанов 1 стр 34

Сказать "Спасибо"

Уравнение непрерывности для плотности вероятности

Комментарии