Построим решение уравнения Дирака для свободной частицы с энергией $E$ , т.е. решим стационарное уравнение:

$(c\boldsymbol{\alpha}\hat{\bold{p}}+\beta mc^2)\psi_{E}(\bold{r})=E\psi_E(\bold{r})$ .

Поскольку операторы $\hat{H}$ и $\hat{\bold{p}}$ коммутируют,

$\left[c\boldsymbol{\alpha}\hat{\bold{p}}+\beta mc^2,\hat{\bold{p}}\right]=0$ ,

то в качестве $\psi_E(\bold{r})$ можно взять собственную функцию оператора импульса, а именно:

$\psi_E(\bold{r})=u\exp\left(i\frac{\bold{p}\bold{r}}{h}\right)$

где

$u=\left\{u_1, u_2, u_3, u_4\right\}\equiv\left\{\varphi, \chi\right\}$ , $\varphi=\left\{u_1, u_2\right\},~\chi=\left\{u_3, u_4\right\}$ ,

есть биспинор, компонентами которого являются постоянные величины.

Подставляя предложенное решение в стационарное уравнение,

$(c\boldsymbol{\alpha}\hat{\bold{p}}+\beta mc^2)u\exp\left(i\frac{\bold{p}\bold{r}}{h}\right)=Eu\exp\left(i\frac{\bold{p}\bold{r}}{h}\right)$

получаем систему алгебраических уравнений для четырех компонент биспинора $u$ :

$(c\boldsymbol{\alpha}\hat{\bold{p}}+\beta mc^2)u=Eu$ , или $c\bold{p}\begin{pmatrix} 0 & \boldsymbol{\sigma} \\\ \boldsymbol{\sigma} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varphi\\\chi \end{pmatrix}+mc^2\begin{pmatrix} I & 0 \\\ 0 & -I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varphi\\\chi \end{pmatrix}=E\begin{pmatrix} \varphi\\\chi \end{pmatrix}$ .

Для 2-x компонентных постоянных спиноров $\varphi$ и $\chi$ возникает система из двух уравнений:

$\begin{cases} c\bold{p}\boldsymbol{\sigma}\chi+mc^2\varphi=E\varphi, \\ c\bold{p}\boldsymbol{\sigma}\varphi-mc^2\chi=E\chi. \end{cases}$

Приведение подобных слагаемых дает

$\begin{cases} (mc^2-E)\varphi+c\bold{p}\boldsymbol{\sigma}\chi=0,\\ -c\bold{p}\boldsymbol{\sigma}\varphi+(mc^2+E)\chi=0. \end{cases}$

Условие разрешимости этой системы имеет вид

$\begin{vmatrix} mc^2-E & c\bold{p}\boldsymbol{\sigma}\\ -c\bold{p}\boldsymbol{\sigma} & mc^2+E \end{vmatrix}=0$

Выполним преобразование (пользуясь свойствами матриц Паули):

$(\boldsymbol{\sigma}\bold{p})(\boldsymbol{\sigma}\bold{p})=\sigma_i\sigma_jp_ip_j=(\delta_{ij}+ie^{ijk}\sigma_k)p_ip_j=\bold{p}^2+i\sigma_ke_{ijk}p_ip_j$ .

В силу того, что тензор $p_ip_j$ симметричен, а тензор $e_{ijk}$ антисимметричен по индексам $i$ и $j$ , их свертка обращается в ноль. Поэтому условие разрешимости принимает вид:

$m^2c^4-E^2+\bold{p}^2c^2=0$ .

Таким образом, для энергии $E$ свободной частицы с импульсом $\bold{p}$ находим:

$E=\pm\sqrt{\bold{p}^2c^2+m^2c^4}$ .

Барабанов 2 25

Сказать "Спасибо"

Решение уравнения Дирака для свободной частицы

Комментарии