Построим решение уравнения Дирака для свободной частицы с энергией , т.е. решим стационарное уравнение:
Поскольку операторы и
коммутируют,
то в качестве можно взять собственную функцию оператора импульса, а именно:
где
есть биспинор, компонентами которого являются постоянные величины.
Подставляя предложенное решение в стационарное уравнение,
получаем систему алгебраических уравнений для четырех компонент биспинора :
Для 2-x компонентных постоянных спиноров и
возникает система из двух уравнений:
Приведение подобных слагаемых дает
Условие разрешимости этой системы имеет вид
Выполним преобразование (пользуясь свойствами матриц Паули):
В силу того, что тензор симметричен, а тензор
антисимметричен по индексам
и
, их свертка обращается в ноль. Поэтому условие разрешимости принимает вид:
Таким образом, для энергии свободной частицы с импульсом
находим:
Барабанов 2 25