Состояния с положительными и отрицательными энергиями

Пусть

$E=\sqrt{\bold{p}^2c^2+m^2c^4}>0$ ,

тогда

$\chi=\frac{c\bold{p}\boldsymbol{\sigma}\varphi}{mc^2+E}$ ,

так что

$|\chi|\ll|\varphi|$ , если $cp\ll E\simeq mc^2$ или $v\ll c^2$

Следовательно в нерелятивистском случае мы, фактически, имеем дело с 2-х компонентным спинором, а не с биспинором:

$\psi(\bold{r}, t)\simeq\begin{pmatrix} \varphi\\ 0 \end{pmatrix}~\mathrm{exp}\left(i\frac{\bold{pr}-Et}{\hbar}\right)$ .

В нерелятивистской квантовой механике 2-х компонентные спиноры используются для описания частиц со спином $1/2$ . Таким образом мы приходим к выводу, что уравнение Дирака есть релятивистское уравнение для частицы со спином $1/2$ .

Заметим, что если взять отрицательное значение энергии

$E=\sqrt{\bold{p}^2c^2+m^2c^4}<0$ ,

то

$\varphi=-\frac{c\bold{p}\boldsymbol{\sigma}\chi}{mc^2+E}$ ,

При этом

$|\varphi|\ll|\chi|$ , если $cp\ll E\simeq mc^2$ или $v\ll c^2$

т.е.

$\psi(\bold{r}, t)\simeq\begin{pmatrix} 0\\ \chi \end{pmatrix}~\mathrm{exp}\left(i\frac{\bold{pr}-Et}{\hbar}\right)$ .

Таким образом, нижние компоненты биспинора заведомо необходимы для описания свободно движущихся частиц с отрицательными энергиями.

Существование решений с отрицательными энергиями позволило Дираку выдвинуть гипотезу о существовании античастиц.

Сказать "Спасибо"

Состояния с положительными и отрицательными энергиями

Комментарии