$\Phi(\bold{r},t), \bold{A}(\bold{r},t)$ - скалярный и векторный потенциал электромагнитного поля.

Рассмотрим нерелятивистский предел - $E$ - положительна и мало в отличие от $mc^2$ . Волновую функцию в форме:

$\Psi(\bold{r},t)=\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)\begin{pmatrix} \varphi(\bold{r},t)\\ \chi(\bold{r},t) \end{pmatrix}.$

Подстановка в уравнение Дирака дает:

$mc^2\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)\begin{pmatrix} \varphi\\ \chi \end{pmatrix}+i\hbar\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix} \varphi\\ \chi \end{pmatrix}=$ $=c\boldsymbol{\alpha}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)\begin{pmatrix} \varphi\\ \chi \end{pmatrix}+\beta mc^2\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)\begin{pmatrix} \varphi\\ \chi \end{pmatrix}+$ $+e\Phi\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)\begin{pmatrix} \varphi\\ \chi \end{pmatrix}$ .

Сокращаем $\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)$ и переписываем полученное уравнение, пользуясь явными выражениями для матриц $\boldsymbol{\alpha}$ и $\beta$ :

$mc^2\begin{pmatrix} \varphi\\ \chi \end{pmatrix}+i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix} \varphi\\ \chi \end{pmatrix}=c\begin{pmatrix} 0 & \boldsymbol{\sigma}\\ \boldsymbol{\sigma} & 0 \end{pmatrix}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\begin{pmatrix} \varphi\\ \chi \end{pmatrix}+$ $+mc^2\begin{pmatrix} I & 0\\ 0 & -I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varphi\\ \chi \end{pmatrix}+e\Phi\begin{pmatrix} \varphi\\ \chi \end{pmatrix}$

Получаем систему:

$\begin{cases} mc^2\varphi+i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}=c\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\chi+mc^2\varphi+e\Phi\varphi,\\ mc^2\chi+i\hbar\frac{\partial\chi}{\partial t}=c\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\chi-mc^2\chi+e\Phi\chi, \end{cases}$

или

$\begin{cases} i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}=c\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\chi+e\Phi\varphi,\\ 2mc^2\chi+i\hbar\frac{\partial\chi}{\partial t}=c\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\chi+e\Phi\chi, \end{cases}$

Обратимся ко второму уравнению в этой системе. В нерелятивистском случае:

$|e\Phi|\ll mc^2,~~~\left|i\hbar\frac{\partial\xi}{\partial t}\right|\ll mc^2|\chi|$ .

Поэтому с точностью до членов первого порядка по малому параметру $v/c$ получаем

$\chi\simeq\frac{\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)}{2mc}\varphi,~~|\chi|\ll|\varphi|$ .

Иными словами, в нерелятивистском приближении биспинор

$\Psi(\bold{r},t)\simeq\begin{pmatrix} \varphi(\bold{r},t)\\ 0 \end{pmatrix}\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)$

полностью определяется спинором $\varphi(\bold{r},t)$ .

Подставляя в первое уравнение системы приближенное выражение для $\chi$ , мы получаем уравнение для спинора $\varphi$ , справедливое с точностью до членов первого порядка по $v/c$ , а именно:

$i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}=c\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\frac{\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)}{2mc}\varphi+e\Phi\varphi$ .

Выполним преобразование

$\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)=\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)^2-\frac{e\hbar}{c}\boldsymbol{\sigma}\bold{H}$ ,

где $\bold{H}=\mathrm{rot}\bold{A}$ - это напряженность магнитного поля.

Таким образом мы получили уравнение для 2-х компонентной волновой функции $\varphi$ нерелятивистской частицы со спином $1/2$ во внешнем электромагнитном поле. Оно выглядит следующим образом,

$i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}=\frac{\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)^2}{2m}\varphi-\frac{e\hbar}{2mc} \boldsymbol{\sigma}\bold{H}\varphi+e\Phi\varphi$ ,

и называется уравнением Паули.

Барабанов 2 стр 29

Сказать "Спасибо"

Уравнение Паули как нерелятивистский предел уравнения Дирака

Комментарии