Стационарное уравнение Шредингера для линейного уравнения выглядит следующим образом:

$\left(\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{m\omega^2\hat{x}^2}{2}\right)|n\rangle=E_n|n\rangle,~~[\hat{p},\hat{x}]=-i\hbar$ .

Собственные векторы нормированы на единицу:

$\langle n|n \rangle=1$ .

Обезразмерим уравнение, домножая его левую и правую части на $\frac{2}{\hbar\omega}$ :

$\left(\frac{\hat{p}^2}{m\hbar\omega}+\frac{m\omega\hat{x}^2}{\hbar}\right)|n\rangle=\frac{2E_n}{\hbar\omega}|n\rangle$ .

Выполняем замену переменных:

$\hat{\xi}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\hat{x},~\hat{p}_{\xi}=\frac{\hat{p}}{\sqrt{m\hbar\omega}},~~\varepsilon_n=\frac{E_n}{\hbar\omega}$ ,

при этом

$[\hat{p}_{\xi},\hat{\xi}]=-i$ .

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:

$\left(\hat{p}_{\xi}^2+\hat{\xi}^2\right)|n\rangle=2\xi_n|n\rangle$ .

Введем новые операторы

$\hat{a}=\frac{\hat{\xi}+i\hat{p}_{\xi}}{\sqrt{2}}$ $\hat{a}^{+}=\frac{\hat{\xi}-i\hat{p}_{\xi}}{\sqrt{2}}$

Обезразмеренные операторы координаты $\hat{\xi}$ и импульса $\hat{p}_{\xi}$ выражаются через эти новые операторы следующим образом

$\hat{\xi}=\frac{\hat{a}+\hat{a}^{+}}{\sqrt{2}}$ $\hat{p}_{\xi}=\frac{\hat{a}-\hat{a}^{+}}{i\sqrt{2}}$

Вычислим коммутатор $\hat{a}$ и $\hat{a}^{+}$ :

$[\hat{a},\hat{a}^{+}]=\frac{1}{2}[\hat{\xi}+i\hat{p}_{\xi}, \hat{\xi}-i\hat{p}_{\xi}]=\frac{1}{2}(i(-i)-i(i))=1$ ,

то есть

$\hat{a}\hat{a}^{+}-\hat{a}^{+}\hat{a}=1$ или $\hat{a}\hat{a}^{+}=\hat{a}^{+}\hat{a}+1$

Перепишем теперь стационарное уравнение Шредингера через операторы $\hat{a}$ и $\hat{a}^{+}$ :

$\frac{1}{2}(-(\hat{a}-\hat{a}^{+})^2+(\hat{a}+\hat{a}^{+})^2)|n\rangle=2\varepsilon_{n}|n\rangle$ , $(\hat{a}\hat{a}^{+}+\hat{a}^{+}\hat{a})|n\rangle=2\varepsilon_n|n>$ , $(\hat{a}^{+}\hat{a}+1+\hat{a}^{+}\hat{a})|n\rangle=2\varepsilon_n|n\rangle$ $(\hat{a}^{+}\hat{a}+\frac{1}{2})|n\rangle=\varepsilon_n|n\rangle$ , $\hat{h}|n\rangle=\varepsilon_n|n\rangle$ ,

где оператор $\hat{h}=\hat{a}^{+}\hat{a}+\frac{1}{2}$ есть, по существу, обезразмеренный оператор Гамильтона.

Вычислим коммутаторы операторов $\hat{a}^{+}$ и $\hat{a}$ с оператором $\hat{h}$ . Имеем:

$[\hat{a}^{+},\hat{h}]=[\hat{a}^{+},\hat{a}^{+}\hat{a}+\frac{1}{2}]=\hat{a}^{+}[\hat{a}^{+},\hat{a}]=-\hat{a}^{+}$ ,

то есть

$\hat{a}^{+}\hat{h}=\hat{h}\hat{a}^{+}-\hat{a}^{+}$

Аналогично для $[\hat{a},\hat{h}]=\hat{a}$ , или

$\hat{a}\hat{h}=\hat{h}\hat{a}+\hat{a}$ .

Действуя на безразмерное стационарное уравнение Шредингера слева оператором $\hat{a}^{+}$ , получаем:

$\hat{a}^{+}\hat{h}|n\rangle=\varepsilon_n\hat{a}^{+}|n\rangle$ ,

или

$\hat{h}{a}^{+}|n\rangle-{a}^{+}|n\rangle=\varepsilon_n\hat{a}^{+}|n\rangle$ , $\hat{h}(\varepsilon_n\hat{a}^{+}|n\rangle)=(\varepsilon_n+1)(\hat{a}^{+}|n\rangle)$ .

Предположим, что

$\varepsilon_{n+1}=\varepsilon_n+1,~~~\hat{a}^{+}|n\rangle=c|n+1\rangle$ ,

при этом

$|c|^2=\langle c(n+1)|c(n+1)\rangle=\langle \hat{a}^{+}n|\hat{a}^{+}n\rangle=$ $=\langle n|\hat{a}\hat{a}^{+}|n\rangle=\langle n|\hat{h}+\frac{1}{2}|n\rangle=\varepsilon_n+\frac{1}{2}$

Аналогичным образом, действуя на то же уравнение слева оператором $\hat{a}$ , получаем

$\hat{a}\hat{h}|n\rangle=\varepsilon_n\hat{a}|n\rangle$ , $\hat{h}(\hat{a}|n\rangle)=(\varepsilon_1-1)(\hat{a}|n\rangle)$ .

Следовательно

$\varepsilon_{n-1}=\varepsilon_n-1,~~\hat{a}|n\rangle=c'|n-1\rangle$ ,

при этом

$|c'|^2=\langle c'(n-1)|c'(n-1)\rangle=\langle \hat{a}n|\hat{a}n\rangle=\langle n|\hat{h}-\frac{1}{2}|n\rangle=\varepsilon_n-\frac{1}{2}$ .

Но $|c'|^2\geqslant 0$ , поэтому $\varepsilon_n\geqslant \frac{1}{2}$ или

$\min_{n}\varepsilon_n=\frac{1}{2}$ .

Полагаем $\varepsilon_0=\frac{1}{2}$ , тогда $\varepsilon_n=\frac{1}{2}+n$ . Переходя к $E_n$ , находим спектр Гамильтона:

$E_n=\hbar\omega(n+\frac{1}{2})$ .

Кроме того считая $c$ и $c'$ действительными неотрицательными числами, получаем:

$\hat{a}^{+}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$ $\hat{a}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle$

Покажем теперь, как найти волновые функции основного и возбужденного состояний в координатном представлении. Вектор $|\varphi_0\rangle\equiv|0\rangle$ основного состояния, т.е. состояния с минимальной энергией $\varepsilon_0$ , удовлетворяет соотношению:

$\hat{a}|0\rangle=0$ .

В $\xi$ - представлении получаем:

$\frac{\hat{\xi}_i\hat{p}_{\xi}}{\sqrt{2}}\psi_0(\xi)=0$ ,

или

$(\xi+\frac{d}{d\xi})\psi_0(\xi)=0$ .

Решением, нормированным на единицу является функция

$\psi_0(\xi)=\frac{1}{\pi^{1/4}}e^{-\xi^2/2}$ .

Волновые функции возбужденных состояний можно найти, воспользовавшись соотношениями:

$\hat{a}^{+}|0\rangle=1|1\rangle,~~|1\rangle=\hat{a}^{+}|0\rangle$ , $\hat{a}^{+}|1\rangle=\sqrt{2}|2\rangle,~~|2\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{a}^{+}|1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a}^{+})^2|0\rangle$ , $\hat{a}^{+}|2\rangle=\sqrt{3}|3\rangle,~~|3\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{a}^{+}|2\rangle=\frac{1}{\sqrt{3!}}(\hat{a}^{+})^3|0\rangle$ , $\ldots$

Легко видеть, что

$|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^{+})^n|0\rangle$ .

В координатном представлении

$\psi_n(\xi)=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\left(\xi-i\left(-i\frac{d}{d\xi}\right)\right)^n\psi_0(\xi)$

или

$\psi_n(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2^n n!\sqrt{\pi}}}\left(\xi-\frac{d}{d\xi}\right)^n e^{-\xi^2/2}=\frac{1}{\sqrt{2^n n!\sqrt{\pi}}}H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}$ ,

где

$H_n(\xi)=e^{\xi^2/2}\left(\xi-\frac{d}{d\xi}\right)^n e^{-\xi^2/2}$

есть полином Эрмита $n$ -й степени.

Барабанов 1 стр 62

Сказать "Спасибо"

Построение собственных функций осциллятора в координатном представлении с помощью операторов рождения и уничтожения

Комментарии