Принцип Паули (принцип запрета) — один из фундаментальных принципов квантовой механики, согласно которому два и более тождественных фермиона (частиц с полуцелым спином) не могут одновременно находиться в одном квантовом состоянии.

Рассмотрим систему, состоящую из $N$ одинаковых частиц, взаимодействием которых друг с другом можно пренебречь. Пусть $\psi_1, \psi_2,...$ - волновые функции различных стационарных состояний, в которых может находиться каждая из частиц в отдельности. Состояние системы в целом можно определять перечислением номеров состояний, в которых находятся отдельные частицы. Возникает вопрос о том, каким образом должна быть составлена из функций $\psi_1, \psi_2,...$ волновая функция $\psi$ всей системы в целом.

Пусть $p_1,p_2,...,p_N$ - номера состояний, в которых находятся отдельные частицы. Для системы бозонов волновая функция $\psi(\xi_1,\xi_2,...,\xi_N)$ выражается суммой произведений вида

$\psi_{p_1}(\xi_1)\psi_{p_2}(\xi_2)...\psi_{p_N}(\xi_N)$

со всеми возможными перестановками различных индексов $p_1,p_2,...$ ; такая сумма обладает, очевидно, требуемым свойством симметрии. Так, для системы из двух частиц, находящихся в различных $(p_1\ne p_2)$ состояниях:

$\psi(\xi_1,\xi_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_{p_1}(\xi_1)\psi_{p_2}(\xi_2)+\psi_{p_1}(\xi_2)\psi_{p_2}(\xi_1)]$ .

Множитель $1/\sqrt{2}$ введен для нормировки. В общем же случае системы произвольного числа частиц $N$ нормированная функция

$\psi_{N_1N_2}...\left(\frac{N_1!N_2!...}{N!}\right)^{1/2}\sum \psi_{p_1}(\xi_1)\psi_{p_2}(\xi_2)...\psi_{p_N}(\xi_N)$ ,

где сумма берется по всем перестановкам различных из индексов $p_1,p_2,..., p_N$ , f числа $N_i$ указывают сколько из всех этих индексов имеют одинаковые значения $i$ (при этом $\sum_{i}N_i=N$ ). При интегрирование квадрата $|\psi^2|$ по $d\xi_1d\xi_2...d\xi_N$ обращаются в нуль все члены, за исключением только квадратов модулей каждого из членов суммы; поскольку общее число членов в сумме (61.3) равно, очевидно, $N!/(N_1!N_2!...)$ , то отсюда и получается нормировочный коэффициент в (61.3).

Для системы фермионов волновая функция $\psi$ есть антисимметричная комбинация произведений (61.1). Так для системы из двух частиц имеем

$\psi(\xi_1,\xi_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_{p_1}(\xi_1)\psi_{p_2}(\xi_2)-\psi_{p_1}(\xi_2)\psi_{p_2}(\xi_1)]$

В общем же случае $N$ частиц волновая функция системы записывается в виде определителя

$\psi_{N_1N_2...}=\frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} \psi_{p_1}(\xi_1) & \psi_{p_1}(\xi_2) & ... &\psi_{p_1}(\xi_N) \\ \psi_{p_2}(\xi_1) & \psi_{p_2}(\xi_2) & ... &\psi_{p_2}(\xi_N) \\ ...&...&...&...\\ \psi_{p_N}(\xi_1) & \psi_{p_N}(\xi_2) & ... &\psi_{p_N}(\xi_N) \end{vmatrix}$ .

Перестановке двух частиц соответствует здесь перестановка двух столбцов определителя, в результате чего последний меняет знак.

Из выражения (61.5) следует важный результат: если среди номеров $p_1, p_2,...$ есть два одинаковых, то две строки определителя окажутся одинаковыми и весь определитель обратиться тождественно в ноль. Он будет отличным от нуля только в тех случаях, когда все номера $p_1,p_2,...$ различны. Таким образом, в системе одинаковых фермионов не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии две (или более) частицы. Это - так называемый принцип Паули.

Сказать "Спасибо"

Принцип Паули

Комментарии